因为小尼没对上牌而爆火的春晚魔术《守岁共此时》
- 是否让你想起刚学编程时做的一道题目？
- 为什么刘谦一定要用 7 字咒语，4 张牌？
- 如果换一个咒语，魔术要怎么设计？牌数要变吗？
- 小尼没对上牌的根本原因是什么？
如果有这些疑问，本文将为你揭晓。
了解一样东西最好的方法就是将它重新做一遍，在了解底层数学逻辑之前，我们先尝试换个咒语，从头设计一个同款魔术。
从头设计一个同款魔术
第一步 编个咒语
编个神秘的咒语，字数务必是2的幂次减1。
刘谦的咒语是"见证奇迹的时刻"，7个字，是2的三次方减1。
我也编一个咒语 "龙年大吉，快关注技乐书香，好运不断" 总计15个字，为2的四次方减1。
第二步 算牌数
需要的牌数为比咒语字数小的最大的2的幂次。
刘谦的咒语7个字，比7小的最大2幂次为4(2的平方）,所以刘谦用了4张牌。
我的咒语为15个字，比15小的最大2幂次为8(2的三次方）,所以我需要用8张牌。
第三步 关键魔术步骤
以下四步为最为关键魔术步骤：
- 步骤一：8张牌（上一步算出的牌数）对折撕开，堆到一起，撕开后的牌堆共16(
2*8）张（半）牌 - 步骤二：将牌顶7(=8-1）张牌插入中间经过这一步，堆顶和堆底就是配对的两张牌了
- 步骤三：将堆顶的牌藏到屁股底下此时堆里还剩15张牌
- 最后一步：留一张（从堆顶移动到堆底），丢一张，循环往复直到剩下最后一张牌。其实最后一张就是堆底，刚好和屁股底下的牌凑一对（为什么剩下的最后一张刚好就是堆底？具体原因在下一章节的数学逻辑中再详解）
为什么在最关键的四步中都没有看见咒语？下面将会用到
第四步 设计丢牌条件
为了体现"共此时"的理念，在步骤三和最后一步之间再按条件丢些牌。
- 步骤四：按条件丢牌，只要丢的牌数小于等于7(=8-1,8为之前算出的牌数），可以随意设计，越神秘越好，比如
- 男生扔一张
- 女生扔两张
- 单身再扔一张
- 步骤五：念咒语，每念一个字将牌从堆顶移动到堆底
咒语的作用就是消除丢牌对最后一步的影响，保证丢不同数量牌后，最后一步剩下的始终是堆底的那张。（具体原理在下一章节的数学逻辑中再详解）
第五步 再添加些没什么用的神秘步骤
步骤一和步骤二之间可以将任意数量的牌从堆顶移动到堆底。因为此时只要相对顺序不变，不影响最后结果。刘谦魔术的第一步就是按名字字数把牌从堆顶移到堆底，这一步其实没啥用。很多人说小尼失误是因为名字太长了，放错了，显然是不对的，即使数量错了，也不会影响魔术最终的成功。
步骤三和念咒语之前可以将任意数量的牌从堆顶移动到中间。因为此时底牌最重要，只要底牌不变就行。刘谦在藏牌到屁股底下后，让大家根据南北方人的不同，从牌顶往中间插不同数量的牌。小尼的失误其实就在这一步，他没有把牌插入中间而是放在了底部，把最为关键的底牌给换了，导致最后没有配对上。
恭喜你，此时你就拥有一个和刘谦咒语不同的 《守岁共此时》同款魔术了。相信你也准备好了更加烧脑的环节，理解魔术背后的数学逻辑。
魔术背后的数学逻辑
约瑟夫环：程序员的回忆杀
当刘谦在最后一步说 "好运留下来，烦恼丢出去" 时，立即就唤醒了我本科学习 Java 的记忆。在 "Java程序设计" 专业课期末考试的最后一题就是，“n个猴子围成一圈不断报数，奇数留下来，偶数淘汰，求最后留下来的猴子是第几个”。估计不少程序员在初学编程时，都接触过类似的题目。leetcode 上这个题目叫做 破冰游戏。
我这样的小菜鸡一般就写两个 for 循环模拟整个过程，大约几十行代码，沾沾自喜。然后惊讶地大神一行代码就解决了：
// n 为总数
// highestOneBit 是 Java 内置的方法，用于求小于等于 n 的最大2次幂
2*(n - Integer.highestOneBit(n))+1
也就说存在这么一个简单的公式，最后留下来的猴子编号，为 2*(n-小于等于n的最大2次幂)+1:
- 2 个猴子，小于等于 2 的最大2次幂为 2，则最后留下来的为第
2*(2-2)+1=1个 - 7 个猴子，小于等于 7 的最大2次幂为 4，则最后留下来的为第
2*(7-4)+1=7个 - 15 个猴子，小于等于 15 的最大2次幂为 8，则最后留下来的为第
2*(15-8)+1=15个
这是一个经典的数学问题，叫做“约瑟夫环”。这个公式乍看下比较神奇，细想一下其实很直观。 当猴子的数量为 2 的幂次时，每轮报数都会刚好减少一半并且回到第一个猴子，第一个猴子报的永远都是奇数，所以最后剩下的只能是第一个猴子：
对于一般情况，当有 (n-小于n的最小2次幂) 的猴子被淘汰时，就又回到了特殊情况，而且等价于特殊情况中1号猴子的，就是 2*(n-小于n的最小2次幂)+1 号：
构造方程
有了约瑟夫环的公式，我们就可以根据两个条件构造方程：
- 根据操作步骤，推断最后剩下的牌是第几张，假设这个数字为 k
- k 还必须为牌堆最后一张，因为我们将配对的牌留在了最底下
假设我们的牌数为 n，则撕开后的牌数为 2n，因为我们会藏一张牌，所以参与约瑟夫环的牌就只有 2n-1 张, 假设 2n-1=2^m+b 。我们按照核心步骤推演一下 k
- 步骤四会按条件丢牌，但是我们约定丢的牌数是不会超过 b 的，假设丢的牌数为 a，所以最后参与约瑟夫环的牌数为
2n-1-a，可以写作2n-1-a=2^m+b-a。 - 步骤五念咒语，假设咒语字数为 c，会导致牌往前移动 c 位，因此约瑟夫环的结果需要
+c才是牌原本的位置。 - 最后一步约瑟夫环，参与的牌数为
2^m+b-a, 套用公式为2(b-a)+1，再修正下咒语的影响，因此k=2(b-a)+1+c=c+1+2b-2a
同时 k 还必须是牌堆的最后一张，因为此 k 必须是参与约瑟夫环牌数的整数倍，即 2n-1-a=2^m+b-a 的整数倍。其中 a 是观众按条件任意丢弃的，无法控制，而 b 跟牌数相关，c 是咒语字数，都是魔术师可以控制的，因此我们要做到与 a 无关。从 k 的公式中我们可以看到 -2a，因此只能是 2^m+b-a 的 2 倍，进而列出本文最重要的方程：
化简得
因此咒语字数必须为2的幂次减一。根据前面的定义 2n-1=2^m+b，我们可以进一步求得牌数（ 2^m 我们可以理解成比 c 小的最大的2的幂次）：
b 必须小于 2^m，大于0，因此可以求得一个范围：
- 下限：b 取 1 时，
n=2^(m-1)+1 - 上限：b 取
2^m-1时，n=2^m，即 n 为比 c 小的最大的2的幂次
所以对于刘谦用 7 字咒语，3张牌也是可以的，但是按条件丢牌的牌数是不能超过 b 的，b 取得太小，步骤四的按条件丢牌就会受到限制。如果刘谦用3张牌，那么丢牌的数量就能超过 1，“男生丢一张，女生丢两张”这个设计就要翻车了，刘谦还是必须要用 4 张牌。
为了给丢牌留最大的空间，b 我们直接取最大值，此时的牌数刚好就是比 c 小的最大的2的幂次，丢牌的最大数量b就是牌数减1。
总结
思考了很久，但是最后的结论却非常简洁，这或许就是数学的魅力吧：
End
感谢阅读，希望本文能让您有所收获。文中的结论，除了经典的约瑟夫环理论外，其余方程都为笔者自行推导，引用请注明出处。如果看完还有困惑之处，也欢迎评论本文和我进一步交流，有问必回。
作者：元青
微信公众号 「技乐书香」
