传染病预测问题
- 不同类型传染病的发病机理和传播途径各有特点
- 有的传染病，在得过一次后可获得免疫力，有的则不会
- 有的传染病有潜伏期，有的则没有
- 需要对不同类型的传染病建立相应合适的预测模型
1.指数传播模型
- 假设所研究的区域是封闭区域，在一定时期内人口总量不变，不考虑迁入和迁出
- 在t时刻患病人数N(t)是随时间变化的、可微的函数
- 每个病人在单位时间内会传染到的人数为大于0的常数λ
模型的建立
- 设N(t)为他时刻的患病人数，则t+Δt时刻的患病人数为N(t+Δt)
- 则从t->t+Δt时间内，净增的患病人数为N(t+Δt)-N(t)
- 根据假设3（每个病人在单位时间内会传染到的人数为大于0的常数λ），有
N(t+Δt)-N(t)=λN(t)Δt - 注意：λ在模型中始终是常数（每个病人在单位时间内会传染到的人数）
微分方程
- 基于第二条模型假设，在上面公式等号两边同时除以Δt，并令Δt->0
- 可得微分方程
dN(t)/dt = λN(t) t>0
N(0) = N0
- 可求得该模型的解析解：
结果分析
- 模型结果显示，患病人数是指数型增长的
- 该模型一般适用于传染病暴发初期
- 因为在初期，传染源和传染途径往往未知，难以防范
- 但是按照该模型，t->∞时N(t)->∞，显然不符合实际
模型改进
- 封闭区域内人数有限，当患病人数越来越多时，健康人群的数量也就越来越少
- 单位时间内新增的人数（N(t)的导数）也会减少，毕竟没多少人可以感染了
基于以上分析，对模型进行改进，建立SI模型
2.SI模型
模型假设
1. 人口总数：所研究的区域内人口总数为常数N，即不考虑生死，也不考虑迁移
2. 两类人群：分为易感染者(susceptible)和已感染者(infective),设t时刻两类人群在总人口中所占的比例分别为s(t)和i(t)，显然s(t)+i(t)=1
3. 日感染率：每个病人在单位时间（每天）内接触的平均人数为常数λ，称为日感染率；当病人所接触的是健康者时，会将其感染成病人
4. 不考虑治愈：每个病人得病后在传染期内无法治愈，且不会死亡
注意事项
- 现实中，地区人数并不会真的为常数，总有出生率、死亡率、迁入和迁出等等
- 如果把这些因素考虑进模型，模型会十分复杂；而本题的重心是传染病
- 模型假设的目的：简化问题
模型建立
- 细节：假设3中λ是1个病人单位时间接触的平均人数，接触的人中既有病人也有健康者
- 则1个病人可以在单位时间内使λs(t)个健康者变为病人
- 在t时刻病人总数Ni(t)，Δt时间内新增λs(t)Ni(t)Δt个病人，则单位时间内新增病人数
(Ni(t+Δt)-Ni(t))/Δt = λNs(t)i(t) - 令Δt -> 0，得微分方程
di(t)/dt = λs(t)i(t) - 根据假设2，由于s(t)+i(t)=1,所以可写作
di(t)/dt = λi(t)(1-i(t))
模型结果
- 医学上称di(t)/dt为传染病曲线，表示传染病人增加率与时间的关系
- 预测结果随着时间的推移，病人比例接近100%
- 当病人总量占总人口比值达到50%，即i = 0.5时，di/dt达到最大值 ，此时为传染高峰期
- 根据i(t)的表达式，可得高峰期对应时刻：tm = 1/λ (ln(1/i0 - 1))
SI模型未考虑病人得病后可以治愈，t -> ∞ 时 i(t) -> 1 , 即所有人最后都被传染，问题源自模型假设中只有健康者变为病人，但病人不会变为健康者，显然不合理，所以该模型仍需优化
