什么是乘法逆元

当a和b很大时,求 $(a/b) \bmod m$的值

注意: $(a/b) \bmod m$不满足除法分配率,即$(a/b) \bmod m ≠ (a \bmod m) / (b \bmod m)$

此时我们就要想办法将其转化为乘法,乘法可以用乘法分配律:

$(a*x)\bmod m == (a \bmod m) * (x \bmod m)$

而我们又知道 $a/b=a*b^{-1}$

那么就可以表示为:

$(a*b^{-1}) \bmod m ≠ (a \bmod m)* (b^{-1} \bmod m)$

那么现在这两个等式就是等价的: 那么我们就称x是b的逆元

记作如下:

$x \equiv b^{-1} (\bmod m)$

还有一种情况就是说我们不期望去做除法,因为得到的结果可能是小数,但是我们不需要有小数,我们就需要将其转化为乘法去运算,那么也需要通过逆元去做.

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

逆元满足什么性质

公式两边同乘b：

那么求逆元是干什么呢?就是说给我们一个b,让我们求一个x,满足$b * x \equiv 1 (\bmod m)$ 写作:

因为我们上面已经证明了 $x \equiv b^{-1} (\bmod m)$,所以我们这里只是进行了1一个替换而已.

那么现在问题就转化为了怎么求x.

方法:费马小定理

那么现在问题就转化为了怎么求$b^{p-2}$

方法:快速幂

验证

$b=3,p=5$,请问 3x ≡ 1（mod p），即3乘谁的乘积 mod 5 的余数是1？

用费马定理解：

$3^{p-2}=3^{5-2}=3^{3}=27$

$27 mod 5 =2$

答案为2

即3×2 mod 5 =1