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数组实现加法专题

数字加法，小学生都会的问题，但是如果让你用数组来表示一个数，如何实现加法呢？理论上仍然从数组末尾向前俟着计算就行了，但是实现的时候会发现有很多问题，例如算到A[O]位置时发现还要进位该怎么办呢？再拓展，假如给定的两个数，一个用数组存储的，另外一个是普通的整数，又该如何处理？再拓展，如果两个整数是用字符串表示的呢？如果要按照二进制加法的规则来呢？

数组实现整数加法

加一先看一个用数组实现逐个加一的问题。LeetCode66.具体要求是由整数组成的非空数组所表示的非负整数，在其基础上加一。这里最高位数字存放在数组的首位，数组中每个元素只存储单个数字。并且假设除了整数0之外，这个整数不会以零开头。例如： :::info 这个看以很简单是不？从后向前依次加就行了，如果有进位就标记一下，但是如果到头了要进位怎么办呢？例如如果digits=[9,9,9],从后向前加的时候，到了A[O]的位置计算为0，需要再次进位但是数组却不能保存了，该怎么办呢？这里的关键是A[O]什么时候出现进位的情况，我们知道此时一定是9,99,999.…这样铂的结构才会出现加1之后再次进位，而进位之后的结果一定是10,100,1000这样的结构，由于jva中数组默认初始化为0，所以我们此时只要申请一个空间比A大一个的数组B0,然后将B[O]设置为1就行了。这样代码就会变得非常简洁。如果是其他语言，则要注意先将申请的数组初始化为零再执行，代码如下： :::

class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[] digits={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};
        System.out.println(plusOne(digits));
    }
    public static int[] plusOne(int[] digits) {
        int len=digits.length;

        for (int i = len-1; i >=0; i--) {
            digits[i]=digits[i]+1;
            digits[i]=digits[i]%10;
            if(digits[i]!=0){
                return digits;
            }
        }
        digits=new int[len+1];
        digits[0]=1;
        return digits;

    }
}

字符串加法

字符串加法我们继续看将数字保存在字符串中的情况：字符串加法就是使用字符串来表示数字，然后计算他们的和。具体要求如下：给定两个字符串形式的非负整数num1和um2,计算它们的和并同样以字符串形式返回。你不能使用任何内建的用于处理大整数的库（比如Biglnteger),也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。 :::info 例如：输入： num1="456",num2="77" 输出："533" ::: 从低到高逐位相加，如果当前位和超过10，则向高位进一位。因此我们只要将这个过程用代码写出来即可。先定义两个指针i和分别指向num1和um2的末尾，即最低位，同时定义一个变量add维护当前是否有进位，然后从末尾到开头逐位相加。这里可能有个问题：两个数字位数不同该怎么处理？简单，补0即可。具体可以看下面的代码：

class Solution {
    public String addStrings(String num1, String num2) {

        char[] chars1 = num1. toCharArray();
        char[] chars2 = num2.toCharArray();
        int i = chars1.length-1;
        int j = chars2.length-1;
        int add=0;
        StringBuilder ans=new StringBuilder();
        while (i>=0||j>=0||add!=0){
            int x=i>=0? chars1[i]-'0':0;
            int y=j>=0? chars2[j]-'0':0;
            int result=x+y+add;
            ans.append(result%10);
            add=result/10;
            i--;
            j--;
        }
        ans.reverse();
        return ans.toString();
    }
}

二进制加法

二进制加法我们继续看，如果这里是二进制该怎么处理呢？详细要求：leetcode67.给你两个二进制字符串，这个字符串是用数组保存的，返回它们的和（用二进制表示)。其中输入为非空字符串且只包含数字1和0。这个题也是用字符串来表示数据的，也要先转换为字符数组。我们熟悉的十进制，是从各位开始，逐步向高位加，达到10就进位，而对于二进制则判断相加之后是否为二进制的10，是则进位。本题解中大致思路与上述一致，但由于字符串操作原因，不确定最后的结果是否会多出一位进位，下面2种处理方式都可以： ·第一种，在进行计算时直接拼接字符串，得到一个反向字符，最后再翻转。 ·第二种，按照位置给结果字符赋值，最后如果有进位，则在前方进行字符串拼接添加进位我们这里采用第一种实现。

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        char[] charsa = a.toCharArray();
        char[] charsb = b.toCharArray();
        StringBuilder sb=new StringBuilder();
        int i = charsa.length-1;
        int j   = charsb.length - 1;
        int add=0;
        while (i>=0||j>=0||add!=0){
            int x=i>=0?charsa[i]-'0':0;
            int y=j>=0?charsb[j]-'0':0;
            int result=x+y+add;
            sb.append(result%2);
            add=result/2;
            i--;
            j--;
        }
        return sb.reverse().toString();

    }
}

幂运算

幂运算是常见的数学运算，其形式为a^b,即a的b次方，其中a称为底数，b称为指数，ab为合法的运算（例如不会出现=0且b≤0的情况）。幂运算满足底数和指数都是实数。根据具体问题，底数和指数的数据类型和取值范围也各不相同。例如，有的问题中，底数是正整数，指数是非负整数，有的问题中，底数是实数，指数是整数。力扣中，幂运算相关的问题主要是判断一个数是不是特定正整数的整数次幂，以及快速幂的处理。

求2的幂

2的幂 LeetCode231.给你一个整数n,请你判断该整数是否是2的幂次方。如果是，返回true;否则，返回 false。如果存在一个整数×使得n==2^×,则认为n是2的幂次方。示例1：输入：n=1 输出： true 解释：20=1 示例2：输入：n=16 输出：true 解释：24=16 示例3：输入：n=3 输出：false

class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int n) {

        //n<=0, 不可能存在, 2^x>0
        if(n<=0){
            return false;
        }
        //一直除2，直到余数不为0，若n=1，说明是2^x=n
        while (n%2==0){
            n/=2;
        }
        return n==1;

    }
}

求3的幂

3的幂 leetcode326给定一个整数，写一个函数来判断它是否是3的幂次方。如果是，返回true;否则，返回 false。整数n是3的幂次方需满足：存在整数X使得n==3^x 对于这个题，可以直接使用数学方法来处理，如果n是3的幂，则>0，且存在非负整数k使得=3^k。首先判断n是否是正整数，如果n是0或负整数，则n一定不是3的幂。当n是正整数时，为了判断n是否是3的幂，可以连续对n进行除以3的操作，直到n不能被3整除。此时如果n=1,则n是3的幂，否则n不是3的幂。

class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        if(n<=0){
            return false;
        }
        while (n%3==0){
            n/=3;
        }
        return n==1;

    }
}

这个题的问题和上面2的次幂一样，就是需要大量进行除法运算，我们能否优化一下呢？这里有个技巧。由于给定的输入n是int型，其最大值为2^31-1。因此在int型的数据范围内存在最大的3的幂，不超过 2^31-1的最大的3的幂是3^19=1162261467。所以如果在1~2^31-1内的数，如果是3的幂，则一定是1162261467的除数，所以这里可以通过一次除法就获得：

class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        return n>0&&1162261467%n==0;
//        if(n<=0){
//            return false;
//        }
//        while (n%3==0){
//            n/=3;
//        }
//        return n==1;

    }
}

求4的幂

4的幂 LeetCode342给定一个整数，写一个函数来判断它是否是4的幂次方。如果是，返回true；否则，返回 false。整数n是4的幂次方需满足：存在整数X使得n==4^×。第一种方法自然还是数学方法一直除，代码如下：

class Solution {
    public boolean isPowerOfFour(int n) {
        if(n<=0) return false;
        while (n%4==0){
            n/=4;
        }
        return n==1;

    }
}

数字与数学高频问题