第 2 章 算法分析

2.8 时间复杂度（4）

1. 一个较复杂的问题

例题 2.8.1 估算以下算法的时间复杂度：

void fun(int n){
    int x = 0;
    for(int i = 0, j = 0; i < n; i += j, j++)
        x++;
}

在循环语句中，i, j 都是从 0 开始，j 的步长是 1，但 i 的步长是 j 。通过下表，观察在迭代过程中两个变量的变化（注意，先执行 i += j ）。

循环次序	i(i+=j)	j(j++)
1	0+0	1
2	0+0+1	2
3	0+0+1+2	3
4	0+0+1+2+3	4
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
r	$0+0+1+2+3+\cdots+(r-1)$	r

因为 i < n ，所以：$0+0+1+2+3+\cdots+(r-1)\lt n$ ，即：

所以，时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$ 。

2. 多项式时间复杂度

至此，已经学习过的时间复杂度包括：$O(1),O(\log{n}),O(\sqrt{n}),O(n),O(n\log{n}),O(n^2),O(n^3)$ ，在 013 节的练习题中还有 $O(\log\log{n})$ 。这些时间复杂度之间，存在如下定性的大小关系：

其中， $O(\log\log{n}), O(\log{n}), O(\sqrt{n}), O(n), O(n\log{n}), O(n^2), O(n^3)$ 等称为多项式时间复杂度（polynomial time complexity），可以统一表示为 $O(f(n))$ ，且 $f(n)$ 为多项式。

在算法复杂度理论中，多项式级的运行时间成本，往往被认为是可接受的，或者是可忍受的。某问题若可以用多项式复杂度的算法求解，则称该问题是可有效求解的，或者易解的。这样的问题也称为 P 问题。

除了 P 问题之外，也就是解决问题的算法的复杂度是多项式复杂度，除此之外，还有另外一类问题，只能用指数时间复杂度的算法求解，称为 NP 问题，或者称为难解问题。

3. 指数时间复杂度 $O(2^n)$

指数时间复杂度不是本课程重点，但是，考虑到学习本课的同学，将来的学习、工作或者研究过程中，一定不会仅仅局限于教材或者所谓考研大纲的知识范围，那么，也对此做个简单介绍。

例题 2.8.3 $n$ 是非负整数，计算 $2^n$ ，其算法如下（注意，这里的算法是此计算的一种，蛮力迭代，并不是最好的算法，此处仅仅是以此为例说明指数时间复杂度）。

int power(int n){
    int pow = 1;
    while(0 < n--){
        pow <<= 1;  // pow = pow * 2
    }
    return  pow;
}

很显然，第 4 行是基本语句，语句频度是 $n$ ，所以此算法的时间复杂度为 $O(n)$ 。

如果将输入指数 $n$ 用二进制位数 $r = 1+\lfloor\log{n}\rfloor$ 作为输入规模，则时间复杂度为 $O(2^r)$ 。

把时间复杂度可以表示为 $T(n)=O(a^n),(a\gt1)$ 的，均是指数时间复杂度（exponential time complexity）。

一般认为，指数时间复杂度的算法无法真正应用于实际问题中，这类算法不是有效的算法。

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