《数据结构》详解精炼:时间复杂度(3)

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第 2 章 算法分析

2.8 时间复杂度(4)

1. 一个较复杂的问题

例题 2.8.1 估算以下算法的时间复杂度:

void fun(int n){
    int x = 0;
    for(int i = 0, j = 0; i < n; i += j, j++)
        x++;
}

在循环语句中,i, j 都是从 0 开始,j 的步长是 1,但 i 的步长是 j 。通过下表,观察在迭代过程中两个变量的变化(注意,先执行 i += j )。

循环次序i(i+=j)j(j++)
10+01
20+0+12
30+0+1+23
40+0+1+2+34
\vdots\vdots\vdots
r0+0+1+2+3++(r1)0+0+1+2+3+\cdots+(r-1)r

因为 i < n ,所以:0+0+1+2+3++(r1)<n0+0+1+2+3+\cdots+(r-1)\lt n ,即:

r(r1)2<nr2r2n<011+8n2<r<1+1+8n2 r>0 0<r<1+1+8n2\begin{split} &\frac{r(r-1)}{2}\lt n \\&r^2-r-2n\lt0 \\&\frac{1-\sqrt{1+8n}}{2}\lt r\lt\frac{1+\sqrt{1+8n}}{2} \\&\because~r\gt0 \\&\therefore~0\lt r\lt\frac{1+\sqrt{1+8n}}{2} \end{split}

所以,时间复杂度为 O(n)O(\sqrt{n})

2. 多项式时间复杂度

至此,已经学习过的时间复杂度包括:O(1),O(logn),O(n),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3)O(1),O(\log{n}),O(\sqrt{n}),O(n),O(n\log{n}),O(n^2),O(n^3) ,在 013 节的练习题中还有 O(loglogn)O(\log\log{n}) 。这些时间复杂度之间,存在如下定性的大小关系:

O(1)<O(loglogn)<O(logn)<O(n)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)O(1)\lt O(\log\log{n})\lt O(\log{n})\lt O(\sqrt{n})\lt O(n)\lt O(n\log{n})\lt O(n^2)\lt O(n^3)

其中, O(loglogn),O(logn),O(n),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3)O(\log\log{n}), O(\log{n}), O(\sqrt{n}), O(n), O(n\log{n}), O(n^2), O(n^3) 等称为多项式时间复杂度(polynomial time complexity),可以统一表示为 O(f(n))O(f(n)) ,且 f(n)f(n) 为多项式。

在算法复杂度理论中,多项式级的运行时间成本,往往被认为是可接受的,或者是可忍受的。某问题若可以用多项式复杂度的算法求解,则称该问题是可有效求解的,或者易解的。这样的问题也称为 P 问题。

除了 P 问题之外,也就是解决问题的算法的复杂度是多项式复杂度,除此之外,还有另外一类问题,只能用指数时间复杂度的算法求解,称为 NP 问题,或者称为难解问题。

3. 指数时间复杂度 O(2n)O(2^n)

指数时间复杂度不是本课程重点,但是,考虑到学习本课的同学,将来的学习、工作或者研究过程中,一定不会仅仅局限于教材或者所谓考研大纲的知识范围,那么,也对此做个简单介绍。

例题 2.8.3 nn 是非负整数,计算 2n2^n ,其算法如下(注意,这里的算法是此计算的一种,蛮力迭代,并不是最好的算法,此处仅仅是以此为例说明指数时间复杂度)。

int power(int n){
    int pow = 1;
    while(0 < n--){
        pow <<= 1;  // pow = pow * 2
    }
    return  pow;
}

很显然,第 4 行是基本语句,语句频度是 nn ,所以此算法的时间复杂度为 O(n)O(n)

如果将输入指数 nn 用二进制位数 r=1+lognr = 1+\lfloor\log{n}\rfloor 作为输入规模,则时间复杂度为 O(2r)O(2^r)

把时间复杂度可以表示为 T(n)=O(an),(a>1)T(n)=O(a^n),(a\gt1) 的,均是指数时间复杂度(exponential time complexity)。

一般认为,指数时间复杂度的算法无法真正应用于实际问题中,这类算法不是有效的算法。

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