583 两个字符串的删除操作
✍手写分析
动规五部曲分析
动态规划一
本题和 动态规划：115.不同的子序列 相比，其实就是两个字符串都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。
这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
- 确定递推公式
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1**]相同**的时候
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];因为相同因此不需要新增任何操作
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：(以下删某个元素实际为绕过之后不计入此元素)
- 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
- 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
- 情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
那最后取最小值，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i][j-1] + 1。
（当然也可以三个一起写，写两个理解起来有点困难且没有空间时间上的优化）
- dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。
dp[0][j]的话同理，所以代码如下：
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
// 初始化
for (int i = 0; i <= len1; i++){
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j <= len2; j++){
dp[0][j] = j;
}
- 确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
- 举例推导dp数组
以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：
以上分析完毕，代码如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
// 初始化
for (int i = 0; i <= len1; i++){
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j <= len2; j++){
dp[0][j] = j;
}
// 递推公式
for (int i = 1; i <= len1; i++){
for (int j = 1; j <= len2; j++){
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j] + 1, Math.min(dp[i][j - 1] + 1,dp[i - 1][j - 1] + 2));
}
}
return dp[len1][len2];
}
- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m)
动态规划二
本体还有一个巧妙的思路
本题和 动态规划：1143.最长公共子序列 思路基本相同，只要求出两个字符串的最长公共子序列长度即可，那么除了最长公共子序列之外的字符都是必须删除的，最后用两个字符串的总长度减去两个最长公共子序列的长度就是删除的最少步数。
代码如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
char[] char1 = word1.toCharArray();
char[] char2 = word2.toCharArray();
int len1 = char1.length;
int len2 = char2.length;
int dp[][] = new int [len1 + 1][len2 + 1];
for(int i = 1; i <= len1; i++){
for(int j = 1; j <= len2; j++){
if(char1[i - 1] == char2[j - 1])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
return len1 + len2 - (2 * dp[len1][len2]);//和leetcode 1143只差在這一行。
}
- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m
72 编辑距离
✍手写分析
动规五部曲
今天和昨天的题目都为这道题做铺垫。
找相同（392 判断子序列 遇过） - 找不相同：不相同需要增删改操作。（删操作在 115 不同的子序列 遇过）
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
增
删
换
也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何操作，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
- 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
- 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
那添加元素去哪了？
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：
a a d
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
| 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 |
+-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+
a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 |
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
d | 2 | 1 |
+-----+-----+
也即是在一个word里增加一个元素等于在另一个word里删除一个元素
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。
可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。
那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。
所以** dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;**
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
递归公式代码如下：
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1),dp[i - 1][j - 1] + 1);
3. dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i][j]的定义：
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？
dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。
那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;
所以代码如下：
// 初始化
for (int i =0; i<= len1;i++){
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j <= len2; j++){
dp[0][j] = j;
}
4. 确定遍历顺序
从如下四个递推公式：
- dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
- dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
- dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
- dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
代码如下：
// 递推公式
for (int i = 1; i <= len1; i++){
for (int j = 1; j <= len2; j++){
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1),dp[i - 1][j - 1] + 1);
}
}
5. 举例推导dp数组
以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
以上动规五部分析完毕，代码如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
// 初始化
for (int i =0; i<= len1;i++){
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j <= len2; j++){
dp[0][j] = j;
}
// 递推公式
for (int i = 1; i <= len1; i++){
for (int j = 1; j <= len2; j++){
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1),dp[i - 1][j - 1] + 1);
}
}
return dp[len1][len2];
}
- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m)
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