微积分之旅——夹逼定理，定积分定义求极限

IronLu233
168 阅读1分钟

上回，在微积分之旅——求极限的各种细节 - 掘金 (juejin.cn)中讲了常见的微积分极限求法。本篇介绍定积分定义和夹逼定理求极限的办法，以及他们两者的结合使用

定积分求极限

image.png

如图所示，对于函数f(x)f(x)在[0,1][0, 1]上，我们把区间n等分，把每一份近似地看成长方形，每一个长方形的宽度的宽度都是1n{\frac{1}{n}}。如果长方体的长度取右侧边的值，第一块长方形的面积是1n⋅f(1n)\frac{1}{n} \cdot f(\frac{1}{n})，第二块是2n⋅f(2n)\frac{2}{n} \cdot f(\frac{2}{n})，第n块是nn⋅f(nn)\frac{n}{n} \cdot f(\frac{n}{n})

同时根据定积分的几何意义，函数f(x) 在[0, 1]之间围成的面积就可以表示为∫01f(x)dx\int_0^1 f(x)dx。接下来让n→∞n \to \infty就可以用极限与多项式求和的组合来表示这个定积分

∫01f(x)dx=lim⁡n→∞1n(f(1n)+f(2n)+⋯f(nn))=lim⁡n→∞1n∑k=1nkn\int_0^1 f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(f(\frac{1}{n}) + f(\frac{2}{n}) + \cdots f(\frac{n}{n})) = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n \frac{k}{n}

也就是说，关键在于我们如何将极限变形成limn→∞1n∑k=1nf(kn)lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n f(\frac{k}{n})

右边级数的表示形式除了limn→∞1n∑k=1nknlim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n \frac{k}{n}之外，还可以是下列两种形式

长方形的高取左侧，f(0n),f(1n,⋯f(n−1n)f(\frac{0}{n}), f(\frac{1}{n}, \cdots f(\frac{n-1}{n})

∫01f(x)dx=lim⁡n→∞1n∑k=1nk−1n\int_0^1 f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n \frac{k-1}{n}

长方形的高取中间, f(12n),f(32n),⋯f(2n−12n)f(\frac{1}{2n}), f(\frac{3}{2n}), \cdots f(\frac{2n-1}{2n})

∫01f(x)dx=lim⁡n→∞1n∑k=1n2k−12n\int_0^1 f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n \frac{2k-1}{2n}

例题

lim⁡n→∞f(1n)f(2n)⋯f(nn)n  其中f∈C[0,1]解=elim⁡x→∞1n(1n)+f(2n)+⋯+f(nn))令A=lim⁡x→∞1n(ln⁡f(1n)+ln⁡f(2n)+⋯+ln⁡f(nn))=∫01ln⁡f(x)dx∴lim⁡n→∞f(1n)f(2n)⋯f(nn)n=e∫01ln⁡f(x)dx\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})}\;其中f\in C [0,1]\\ 解 \\ =e^{\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n}(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots +f(\frac{n}{n}))}\\ 令A = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{n}(\ln f(\frac{1}{n})+\ln f(\frac{2}{n})+\cdots +\ln f(\frac{n}{n})) = \int_0^1\ln f(x)dx \\ \therefore \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})} = e^{\int_0^1\ln f(x)dx}

对于单独使用定积分求极限的题目关键是提取1n\frac{1}{n}后，将求和表达式转化为仅含有kn\frac{k}{n}的表达式，实际中有时会与夹逼定理一起考察

夹逼定理求极限

夹逼定理的定义

假设我们有三个定义在相同定义域函数，g(x),f(x),h(x)g(x), f(x), h(x)

总有g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)

并且有limx→ag(x)=limx→ah(x)=Llim_{x\to a}g(x) = lim_{x \to a}h(x) = L

那么有lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x) = L

这条规则提示我们，如果f(x)(x)的极限不容易求，可以通过找到极限相同但是能夹逼的h(x),g(x)h(x), g(x)计算它们的极限，求得f(x)f(x)的极限。

基本情形：n个数相加

max{a1,a2,a3,⋯an}≤a1+a2+⋯+an≤n⋅max{a1,a2,⋯an}n⋅min{a1,a2,⋯an}≤a1+a2+⋯+an≤n⋅max{a1,a2⋯an}  当n趋向于无穷时max\{a_1, a_2, a_3, \cdots a_n\} \le a_1 + a_2 + \cdots + a_n \le n\cdot max\{a_1, a_2, \cdots a_n\} \\ n\cdot min\{a_1, a_2, \cdots a_n\}\le a_1 + a_2 + \cdots + a_n \le n \cdot max\{a_1, a_2 \cdots a_n \}\;当n趋向于无穷时\\

具体用哪个根据情景来判断

例子

lim⁡n→∞a1+a2+⋯ann解:lim⁡n→∞a1+a2+⋯ann≤lim⁡x→∞n⋅max{a1,a2,⋯an}nlim⁡n→∞n⋅max{a1n,a2n,⋯ann}n=lim⁡n→∞nnmax{a1n,a2n,⋯ann}n其中lim⁡x→∞nn=elim⁡x→∞ln⁡xx=e0=1lim⁡n→∞nnmax{a1n,a2n,⋯ann}n=max{a1,a2,⋯an}lim⁡n→∞a1+a2+⋯ann≥max{a1n,a2n,⋯ann}nmax{a1n,a2n,⋯ann}n=max{a1,a2,⋯an}max{a1,a2,⋯an}≤limn→∞a1+a2+⋯ann≤max{a1,a2,⋯an}∴lim⁡n→∞a1n+a2n+⋯annn=max{a1,a2,⋯an}\lim_{n\to \infty}\sqrt[n] {a_1 + a_2 + \cdots a_n} \\ 解: \lim_{n\to \infty}\sqrt[n] {a_1 + a_2 + \cdots a_n} \le \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{n\cdot max\{a_1, a_2, \cdots a_n\}}\\ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\cdot max\{a_1^n, a_2^n, \cdots a_n^n\}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \sqrt[n]{max\{a_1^n, a_2^n, \cdots a_n^n\}} \\ 其中\lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{n} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}} = e^0 = 1\\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \sqrt[n]{max\{a_1^n, a_2^n, \cdots a_n^n\}} = max\{a_1, a_2, \cdots a_n\} \\ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n] {a_1 + a_2 + \cdots a_n} \ge \sqrt[n]{max\{a_1^n, a_2^n, \cdots a_n^n\}} \\ \sqrt[n]{max\{a_1^n, a_2^n, \cdots a_n^n\}} = max\{a_1, a_2, \cdots a_n\}\\ max\{a_1, a_2, \cdots a_n\} \le lim_{n\to \infty}\sqrt[n] {a_1 + a_2 + \cdots a_n} \le max\{a_1, a_2, \cdots a_n\} \\ \\ \therefore \lim_{n\to \infty}\sqrt[n] {a_1^n + a_2^n + \cdots a_n^n} = max\{a_1, a_2, \cdots a_n\}

上面的lim⁡n→∞a1n+a2n+⋯annn=max{a1,a2⋯an}\lim_{n\to \infty}\sqrt[n] {a_1^n + a_2^n + \cdots a_n^n} = max\{a_1, a_2 \cdots a_n\} 要作为一个二级结论记住

用这个结论我们快速地解一道题

lim⁡n→∞a−n+b−nn  其中0<a<b解lim⁡n→∞a−n+b−nn=lim⁡n→∞(1a)n+(1b)nn=max{1a,1b}=1a\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^{-n} + b^{-n}}\; 其中0 < a < b \\解\\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^{-n} + b^{-n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{1}{a})^n + (\frac{1}{b})^n}\\ = max\{\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\} = \frac{1}{a}

夹逼定理与定积分定义组合题

这类题目往往会有无穷项相加，并且无法直接转化成定积分求极限的形式。这类题目往往存在一些技巧。我将技巧总结为以下步骤

  1. 提取一个1n\frac{1}{n}
  2. 对求和中的表达式进行修改，求得一边的极限
  3. 用同样的办法对另一侧修改，目标是右侧与左侧的极限相同

我们通过两道题来体会。

例1

lim⁡n→∞∑k=1nkarctanknn2+1k=lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn+1kn\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n^2 + \frac{1}{k}} \\ = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n + \frac{1}{kn}}

经过观察，我们如果把1kn\frac{1}{kn}去掉，就能使得求和符号中只有kn\frac{k}{n}的因子。

lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn+1kn≤lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknnlim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn=∫01xarctan⁡xdx=π4−12\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n + \frac{1}{kn}} \le \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n}\\ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n} = \int_0^1x\arctan xdx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}

这样我们得到了右侧的极限。

对于左侧，我们希望它最后的积分形式也与右侧相同。但我们需要让求和中的每一项变小。经过观察，如果应该对分母进行变形，让分母变大。显然, 1kn<1\frac{1}{kn} < 1，我们将1kn\frac{1}{kn}换成11后，就可以使分母变大。整个表达式变小。

lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn+1kn≥lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn+1lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn+1=lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn(因为n→∞,n+1∼n)=∫01xarctan⁡xdx=π4−12\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n + \frac{1}{kn}} \ge \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n+1}\\ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n+1} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n}(因为n \to \infty, n + 1 \sim n)\\ = \int_0^1x\arctan xdx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}

所以

lim⁡n→∞1n∑k=1nkarctanknn+1kn=π4−12\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{karctan\frac{k}{n}}{n + \frac{1}{kn}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}

例子2

lim⁡n→∞∑k=1nn+knn+k\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{n\sqrt n + k}

第一步，提取1n\frac{1}{n}。

lim⁡n→∞∑k=1nn+knn+k=lim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn+kn\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{n\sqrt n + k} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}}

之后我们观察lim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn+kn\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}}，我们去掉kn\frac{k}{n}就能得到右侧的边界

lim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn+kn≤lim⁡n→∞1n∑k=1nn+knlim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn=lim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn=lim⁡n→∞1n∑k=1n1+kn=∫011+x=23(1+x)32∣01=23(22−1)\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}} \le \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n} \\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n} \\ = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{1 + x} = \frac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}}|_0^1 = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)

继续观察lim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn+kn\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}} 的分母，∵0≤k≤n∴kn<1\because 0 \le k \le n \therefore \frac{k}{n} < 1。我们将kn\frac{k}{n}改成11就可以得到左侧的边界

lim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn+kn≥lim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn+1lim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn+1=lim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn(因为n→∞,n+1∼n)lim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn=lim⁡n→∞1n∑k=0n1+kn=∫011+x=23(1+x)32∣01=23(22−1)\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}} \ge \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + 1} \\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + 1} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n}(因为n \to \infty, \sqrt n + 1 \sim \sqrt n) \\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \sqrt{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{1 + x} = \frac{2}{3}(1 + x)^{\frac{3}{2}}|_0^1 = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)

最终

lim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn+1≤lim⁡n→∞1n∑k=1nn+kn+kn≤lim⁡n→∞1n∑k=1nn+knlim⁡n→∞1n∑k=0nn+kn+kn=32(22−1)\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + 1} \le \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}} \le \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n}\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n+k}}{\sqrt n + \frac{k}{n}} = \frac{3}{2}(2\sqrt{2} - 1)
avatar
文章
阅读
粉丝