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本章我们将开始学习空间变换,空间变换在图形学中有非常广泛的应用,对于我们深入了解图形学底层有很重要的意义,特别在光栅化渲染管线中, 我们知道最初输入的顶点坐标都是物体局部空间的($Local Space$), 需要经过一系列的变换将物体从局部空间变换为世界空间(物体摆放在场景的哪里,物体的相对位置关系),接下来再变换到相机空间(即我们观看的视角,就像拿个相机拍照一样,我们是从哪个角度对场景进行观察的),即mvp矩阵中的"$m$(model Matrix)和$v$(view Matrix)".这一系列操作即光栅化渲染管线的第一个阶段,也是理解光栅化背后原理的基础.本章将介绍涉及图形学的基础变换

空间变换(Spatial Transformation)

任何将一个点转换到一个新位置的函数都可以被认定为空间变换 $f: R^n \to R^n$ 今天我们将重点学习几种基本变换:

• 旋转($Rotation$)
• 缩放($Scaling$)
• 平移($Translation$)(仿射变换)
• 错切($Shearing$)
• 镜像("$Reflect$")

重点讲解 1. 空间几何表示 2. 矩阵表示 3.齐次坐标 4.如何用齐次坐标解决仿射变换和线性变换统一问题

线性变换回顾

前几章我们详细阐述了线性变换的定义,并从几何上和代数上分别对其做了解释:

1. 从几何的角度,线性变换会保持直线变换后仍然为直线,并保持原点不变

2. 从代数角度:

$f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$

$f(a\vec{u}) = af(\vec{u})$

为什么我们要关注线性变换?

1. 应用成本低廉
2. 容易求解
3. 多个线性变换的符合构造仍然是线性的
4. 多个线性变换的乘积可以用单个矩阵来表达
5. 对各种变换提供了统一的表达方式

变换的种类

各种变换的特征(经过变换后哪些保持不变)

变换	不变性	代数描述
线性	直线保持直线 原点不变性	$f(ax + y) = af(x) + f(y)$, $f(0) = 0$
平移	两点之间相对位置不变	$f(x-y) = x- y$
缩放	直线经过原点 任意一点的方向不变	$f(x)/\|f(x)\| = x/\|x\|$
旋转	原点保持不变,两点之间距离不变,面的朝向不变	$\|f(x) - f(y)\| = \|x-y\|,def(f) > 0$

旋转($Rotation$)

旋转有三个特征,保持原点不变,保持两点之间距离不变,保持面的朝向不变,前两个特征意味着旋转是一个线性变换

二维旋转

我们知道旋转保持距离和原点不变,因此,二维旋转(旋转角度$\theta$)会将点$x$映射到同一半径的圆上的一点$f_{\theta}(x)$

那么当点$x$位于$(1, 0)处时$,逆时针旋转$\theta$,点会被映射到哪里呢?

根据简单的三角函数可知,该点的坐标被旋转后为$(\cos(\theta), sin(\theta))$.

同理当点位于$(0, 1)$时,被旋转$\theta$角后为$(-\sin(\theta), \cos(\theta))$

那么对于任意一个点$(x,y)$,该怎么办呢? 我们可以将任意向量分解为两个基向量的线性组合:

$x = \begin{bmatrix} x1\\ x2 \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

通过上边的推导(特殊的两个点/basis),我们知道二维空间下基向量是如何旋转的,因此只需要简单的应用基向量的线性组合.

$f(x) = x_{1}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\\ \sin(\theta) \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} -\sin(\theta)\\ \cos(\theta) \end{bmatrix}$

二维旋转的矩阵表示: $f_{\theta}(x) = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{bmatrix}$

三维旋转

在三维空间,如何围绕基向量$Z$旋转?只需要保持该基向量不变,其他应用二维变换即可:

$\begin{bmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta)&\cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

围绕$X$旋转:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ 0 & \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{bmatrix}$

旋转矩阵: 矩阵的转置 = 矩阵的逆

旋转会将标准正交基变换为另外一个正交基$e_{1},e_{2},e_{3}$,旋转矩阵可以用正交基$e_{1},e_{2},e_{3}$来表示,其中每个基向量做为旋转矩阵的一列,而矩阵的转置是将矩阵的每一列放到对应的行:

有趣的地方来了,当我们将两个矩阵相乘:

我们知道变换后的基向量是正交基(根据旋转矩阵的性质),根据正交基的定义,基向量相互垂直,推导出:

向量均为单位向量,长度为1,推导出:

重要结论

$R^TR = I$

$R^{-1}R = I$

$R^TR = R^{-1}R$

$\Longrightarrow R^T = R^{-1}$

旋转矩阵的转置等于它的逆矩阵,这个结论为什么很有用呢,因为矩阵的逆比较难计算,而矩阵的转置相对计算廉价,因此我们可以利用旋转矩阵的这一特殊性质求它的逆矩阵:转置即可.

反射($Relection$)

那么,任何满足$Q^TQ = I$的矩阵都是旋转矩阵吗? 考虑下边的矩阵:

$Q = \begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ $Q^TQ = \begin{bmatrix} (-1)^2&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = I$

那么$Q$是旋转矩阵吗?显然不是的,该矩阵描述了水平方向上的镜像变换,违反了旋转矩阵的面朝向不变性,是一个反射矩阵($Reflections$)

正交矩阵($Orthogonal Transformations$)

我们将这种类型的矩阵(保持距离和原点不变)称之为正交矩阵,旋转矩阵和反射矩阵都是正交矩阵的子集,代数表示:

$Q^TQ = I$

旋转矩阵: 除了保持距离和原点不变以外,还会保持朝向不变: $det(Q) >0$

反射矩阵: 反转朝向:$det(Q) < 0$

本章我们深入了解了其中两种变换,旋转和反射,并将其推广到了更泛化的定义:正交矩阵,下一章我们将深入探讨缩放/错切/平移矩阵.

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