二分图的最大匹配When we let go of something,it opens up a little spa

题目描述

给定一个二分图，其中左半部包含 $n_1$ 个点（编号 $1∼n_1$ ），右半部包含 $n_2$ 个点（编号 $1∼n_2$ ），二分图共包含 $m$ 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 $G$ ，在 $G$ 的一个子图 $M$ 中， $M$ 的边集 { $E$ } 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 $M$ 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 $n_1$ 、 $n_2$ 和 $m$ 。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $u$ 和 $v$ ，表示左半部点集中的点 $u$ 和右半部点集中的点 $v$ 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

$1≤n_1,n_2≤500$ ,
$1≤u≤n_1$ ,
$1≤v≤n_2$ ,
$1≤m≤10^5$

输入样例：

输出样例：

题目分析

这是一道关于匈牙利算法下的二分图匹配的问题。

首先我们按左右将节点按题意分为两部分，以左边节点为起始节点开始考虑，如果其所连边中的右侧节点有未曾被匹配的节点，则将这两个节点作为匹配的一对，并对答案产生 $1$ 的贡献。

在上述思想下，我们来考虑一个问题，即如何选择每个左节点的最优右节点匹配。假设左节点 $a,b$ 都能与右节点 $c$ 进行匹配，且只有左节点 $a$ 能与右节点 $d$ 匹配，那么最终匹配对应为 $a-d,b-c$ 。若一开始我们将 $a,c$ 作为匹配的一对，在考虑 $b$ 的匹配时，便需要更改 $a$ 的匹配以形成最优结果。

那么我们如何更改 $a$ 的匹配呢，这时便需要从 $a$ 的剩余可连节点中找寻未被匹配的 $d$ ，即用递归的方式进行查询。

在这里我们同时要引入 $st$ 数组，在我看来，这个数组的作用是为了减少递归的层数，避免内存爆栈。

由于每个节点最多会对所有边进行一次遍历，所以时间复杂度为 $O(nm)$ 。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510;
vector<int> g[N];
bool st[N];
int match[N];

bool find(int x)
{
    for (auto y : g[x])
        if (!st[y])
        {
            st[y] = true;
            if (!match[y] || find(match[y]))
            {
                match[y] = x;
                return true;
            }
        }
    return false;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int n1, n2, m;
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    while (m --)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        g[a].push_back(b);
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++)
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        if (find(i)) res ++;
    }
    cout << res;
    return 0;
}