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前言

代码随想录算法训练营day42

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一、Leetcode 416. 分割等和子集

1.题目

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5] 输出：false 解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

来源：力扣（LeetCode） 链接：leetcode.cn/problems/pa…

2.解题思路

方法一：动态规划

思路与算法

这道题可以换一种表述：给定一个只包含正整数的非空数组 nums[0]nums[0]，判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于整个数组的元素和的一半。因此这个问题可以转换成「0−10−1 背包问题」。这道题与传统的「0−10−1 背包问题」的区别在于，传统的「0−10−1 背包问题」要求选取的物品的重量之和不能超过背包的总容量，这道题则要求选取的数字的和恰好等于整个数组的元素和的一半。类似于传统的「0−10−1 背包问题」，可以使用动态规划求解。

在使用动态规划求解之前，首先需要进行以下判断。

根据数组的长度 nn 判断数组是否可以被划分。如果 n<2n<2，则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，因此直接返回 falsefalse。

计算整个数组的元素和 sumsum 以及最大元素 maxNummaxNum。如果 sumsum 是奇数，则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，因此直接返回 falsefalse。如果 sumsum 是偶数，则令 target=sum2target=2sum​，需要判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于 targettarget。如果 maxNum>targetmaxNum>target，则除了 maxNummaxNum 以外的所有元素之和一定小于 targettarget，因此不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，直接返回 falsefalse。

创建二维数组 dpdp，包含 nn 行 target+1target+1 列，其中 dp[i][j]dp[i][j] 表示从数组的 [0,i][0,i] 下标范围内选取若干个正整数（可以是 00 个），是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于 jj。初始时，dpdp 中的全部元素都是 falsefalse。

在定义状态之后，需要考虑边界情况。以下两种情况都属于边界情况。

如果不选取任何正整数，则被选取的正整数等于 00。因此对于所有 0≤i<n0≤i<n，都有 dp[i][0]=truedp[i][0]=true。

当 i==0i==0 时，只有一个正整数 nums[0]nums[0] 可以被选取，因此 dp[0][nums[0]]=truedp[0][nums[0]]=true。

对于 i>0i>0 且 j>0j>0 的情况，如何确定 dp[i][j]dp[i][j] 的值？需要分别考虑以下两种情况。

如果 j≥nums[i]j≥nums[i]，则对于当前的数字 nums[i]nums[i]，可以选取也可以不选取，两种情况只要有一个为 truetrue，就有 dp[i][j]=truedp[i][j]=true。
    如果不选取 nums[i]nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i−1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]；
    如果选取 nums[i]nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i−1][j−nums[i]]dp[i][j]=dp[i−1][j−nums[i]]。

如果 j<nums[i]j<nums[i]，则在选取的数字的和等于 jj 的情况下无法选取当前的数字 nums[i]nums[i]，因此有 dp[i][j]=dp[i−1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]。

状态转移方程如下：

dp[i][j]={dp[i−1][j] ∣ dp[i−1][j−nums[i]],j≥nums[i]dp[i−1][j],j<nums[i]dp[i][j]={dp[i−1][j] ∣ dp[i−1][j−nums[i]],dp[i−1][j],​j≥nums[i]j<nums[i]​

最终得到 dp[n−1][target]dp[n−1][target] 即为答案。

3.代码实现

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n < 2) {
            return false;
        }
        int sum = 0, maxNum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
            maxNum = Math.max(maxNum, num);
        }
        if (sum % 2 != 0) {
            return false;
        }
        int target = sum / 2;
        if (maxNum > target) {
            return false;
        }
        boolean[][] dp = new boolean[n][target + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][0] = true;
        }
        dp[0][nums[0]] = true;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int num = nums[i];
            for (int j = 1; j <= target; j++) {
                if (j >= num) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][target];
    }
}