自从2017年transformer模型被提出以来，它已经从论文最初的machine translation领域，转向images，audio，video等等方面的应用（实现作者们在论文conclusion里的大同之梦）。原论文的篇幅很紧密，不看代码的话，缺乏了很多细节描述（就是很痛苦一直在挠头的意思）。我的学历经历大概是两周啃paper+代码 => 两周挖细节=>未来这个模型还有很多值得端详。在transformer系列的笔迹里，我把模型拆成了各个零件进行学习，最后把这些零件组装成transformer，学习的road map如下：

Positional Encoding
Self-attention
Batch Norm & Layer Norm
ResNet，残差连接
subword，子词分词器
组装：Transformer

这是transformer系列的第一篇，这一篇来探索Positional Encoding，位置编码。

一、什么是Positional Encoding

在transformer的encoder和decoder的输入层中，使用了Positional Encoding，使得最终的输入满足：

input = input_embedding + positional_encoding

这里，input_embedding是通过常规embedding层，将每一个token的向量维度从vocab_size映射到d_model，由于是相加关系，自然而然地，这里的positional_encoding也是一个d_model维度的向量。（在原论文里，d_model = 512）

那么，我们为什么需要position encoding呢？在transformer的self-attention模块中，序列的输入输出如下（不了解self-attention没关系，这里只要关注它的输入输出就行）：

在self-attention模型中，输入是一整排的tokens，对于人来说，我们很容易知道tokens的位置信息，比如：

（1）绝对位置信息。a1是第一个token，a2是第二个token......

（2）相对位置信息。a2在a1的后面一位，a4在a2的后面两位......

（3）不同位置间的距离。a1和a3差两个位置，a1和a4差三个位置....

但是这些对于self-attention来说，是无法分辩的信息，因为self-attention的运算是无向的。因为，我们要想办法，把tokens的位置信息，喂给模型。

二、构造Positional Encoding的可能方法

2.1 用整型值标记位置

一种自然而然的想法是，给第一个token标记1，给第二个token标记2...，以此类推。

这种方法产生了以下几个主要问题：

（1）模型可能遇见比训练时所用的序列更长的序列。不利于模型的泛化。

（2）模型的位置表示是无界的。随着序列长度的增加，位置值会越来越大。

2.2 用[0,1]范围标记位置

为了解决整型值带来的问题，可以考虑将位置值的范围限制在[0, 1]之内，其中，0表示第一个token，1表示最后一个token。比如有3个token，那么位置信息就表示成[0, 0.5, 1]；若有四个token，位置信息就表示成[0, 0.33, 0.69, 1]。

但这样产生的问题是，当序列长度不同时，token间的相对距离是不一样的。例如在序列长度为3时，token间的相对距离为0.5；在序列长度为4时，token间的相对距离就变为0.33。

因此，我们需要这样一种位置表示方式，满足于：

（1）它能用来表示一个token在序列中的绝对位置

（2）在序列长度不同的情况下，不同序列中token的相对位置/距离也要保持一致

（3）可以用来表示模型在训练过程中从来没有看到过的句子长度。

2.3 用二进制向量标记位置

考虑到位置信息作用在input embedding上，因此比起用单一的值，更好的方案是用一个和input embedding维度一样的向量来表示位置。这时我们就很容易想到二进制编码。如下图，假设d_model = 3，那么我们的位置向量可以表示成：

这下所有的值都是有界的（位于0，1之间），且transformer中的d_model本来就足够大，基本可以把我们要的每一个位置都编码出来了。

但是这种编码方式也存在问题：这样编码出来的位置向量，处在一个离散的空间中，不同位置间的变化是不连续的。假设d_model = 2，我们有4个位置需要编码，这四个位置向量可以表示成[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]。我们把它的位置向量空间做出来：

如果我们能把离散空间（黑色的线）转换到连续空间（蓝色的线），那么我们就能解决位置距离不连续的问题。同时，我们不仅能用位置向量表示整型，我们还可以用位置向量来表示浮点型。

2.4 用周期函数（sin）来表示位置

回想一下，现在我们需要一个有界又连续的函数，最简单的，正弦函数sin就可以满足这一点。我们可以考虑把位置向量当中的每一个元素都用一个sin函数来表示，则第t个token的位置向量可以表示为：

$PE_t = [sin(\frac{1}{2^0}t),sin(\frac{1}{2^1}t)...,sin(\frac{1}{2^{i-1}}t), ...,sin(\frac{1}{2^{d_{model}-1}}t)]$

结合下图，来理解一下这样设计的含义。图中每一行表示一个 $PE_t$ ，每一列表示 $PE_t$ 中的第i个元素。旋钮用于调整精度，越往右边的旋钮，需要调整的精度越大，因此指针移动的步伐越小。每一排的旋钮都在上一排的基础上进行调整（函数中t的作用）。通过频率 $\frac{1}{2^{i-1}}$ 来控制sin函数的波长，频率不断减小，则波长不断变大，此时sin函数对t的变动越不敏感，以此来达到越向右的旋钮，指针移动步伐越小的目的。

这也类似于二进制编码，每一位上都是0和1的交互，越往低位走（越往右边走），交互的频率越慢。

由于sin是周期函数，因此从纵向来看，如果函数的频率偏大，引起波长偏短，则不同t下的位置向量可能出现重合的情况。比如在下图中(d_model = 3），图中的点表示每个token的位置向量，颜色越深，token的位置越往后，在频率偏大的情况下，位置响亮点连成了一个闭环，靠前位置（黄色）和靠后位置（棕黑色）竟然靠得非常近：

为了避免这种情况，我们尽量将函数的波长拉长。一种简单的解决办法是同一把所有的频率都设成一个非常小的值。因此在transformer的论文中，采用了 $\frac{1}{10000^{i/(d_{model}-1)}}$

这个频率（这里i其实不是表示第i个位置，但是大致意思差不多，下面会细说）

总结一下，到这里我们把位置向量表示为：

$PE_t = [sin(w_0t),sin(w_1t)...,sin(w_{i-1}t), ...,sin(w_{d_{model}-1}t)]$

其中， $w_{i} = \frac{1}{10000^{i/(d_{model}-1)}}$

2.5 用sin和cos交替来表示位置

目前为止，我们的位置向量实现了如下功能：

（1）每个token的向量唯一（每个sin函数的频率足够小）

（2）位置向量的值是有界的，且位于连续空间中。模型在处理位置向量时更容易泛化，即更好处理长度和训练数据分布不一致的序列（sin函数本身的性质）

那现在我们对位置向量再提出一个要求，不同的位置向量是可以通过线性转换得到的。这样，我们不仅能表示一个token的绝对位置，还可以表示一个token的相对位置，即我们想要：

$PE_{t+\bigtriangleup t} = T_{\bigtriangleup t} * PE_{t}$

这里，T表示一个线性变换矩阵。观察这个目标式子，联想到在向量空间中一种常用的线形变换——旋转。在这里，我们将t想象为一个角度，那么 $\bigtriangleup t$ 就是其旋转的角度，则上面的式子可以进一步写成：

$\begin{pmatrix} \sin(t + \bigtriangleup t)\\ \cos((t + \bigtriangleup t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\bigtriangleup t&\sin\bigtriangleup t \\ -\sin\bigtriangleup t&\cos\bigtriangleup t \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sin t\\ \cos t \end{pmatrix}$

有了这个构想，我们就可以把原来元素全都是sin函数的 $PE_t$ 做一个替换，我们让位置两两一组，分别用sin和cos的函数对来表示它们，则现在我们有：

$PE_t = [sin(w_0t),cos(w_0t), sin(w_1t),cos(w_1t),...,sin(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}t), cos(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}t)]$

在这样的表示下，我们可以很容易用一个线性变换，把 $PE_t$ 转变为 $PE_{t + \bigtriangleup t}$ :

$PE_{t+\bigtriangleup t} = T_{\bigtriangleup t} * PE_{t} =\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} cos(w_0\bigtriangleup t)& sin(w_0\bigtriangleup t)\\ -sin(w_0\bigtriangleup t)& cos(w_0\bigtriangleup t) \end{bmatrix}&...&0 \\ ...& ...& ...\\ 0& ...& \begin{bmatrix} cos(w_{\frac{d_{model}}{2}-1 }\bigtriangleup t)& sin(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}\bigtriangleup t)\\ -sin(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}\bigtriangleup t)& cos(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}\bigtriangleup t) \end{bmatrix} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} sin(w_0t)\\ cos(w_0t)\\ ...\\ sin(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}t)\\ cos(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(w_0(t+\bigtriangleup t))\\ cos(w_0(t+\bigtriangleup t))\\ ...\\ sin(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}(t+\bigtriangleup t))\\ cos(w_{\frac{d_{model}}{2}-1}(t+\bigtriangleup t)) \end{pmatrix}$

三、Transformer中positional Encoding方法：Sinusoidal functions

3.1 Transformer 位置编码定义：

有了上面的演变过程后，现在我们就可以正式来看transformer中的位置编码方法了。

定义：

t是这个token在序列中的实际位置（例如第一个token为1，第二个token为2...）

$PE_t\in\mathbb{R}^d$ 是这个token的位置向量， $PE_{t}^{(i)}$ 表示这个位置向量里的第i个元素

$d_{model}$ 是这个token的维度（在论文中，是512)

则 $PE_{t}^{(i)}$ 可以表示为：

$PE_{t}^{(i)} = \left\{\begin{matrix} \sin(w_it),&if\ k=2i \\ \cos(w_it),&if\ k = 2i+1 \end{matrix}\right.$

这里：

$w_i = \frac{1}{10000^{2i/d_{model}}}$

$i = 0,1,2,3,...,\frac{d_{model}}{2} -1$

看得有点懵不要紧，这个意思和2.5中的意思是一模一样的，把512维的向量两两一组，每组都是一个sin和一个cos，这两个函数共享同一个频率 $w_i$ ，一共有256组，由于我们从0开始编号，所以最后一组编号是255。sin/cos函数的波长（由 $w_i$ 决定）则从 $2\pi$ 增长到 $2\pi * 10000$

3.2 Transformer位置编码可视化

下图是一串序列长度为50，位置编码维度为128的位置编码可视化结果：

可以发现，由于sin/cos函数的性质，位置向量的每一个值都位于[-1, 1]之间。同时，纵向来看，图的右半边几乎都是蓝色的，这是因为越往后的位置，频率越小，波长越长，所以不同的t对最终的结果影响不大。而越往左边走，颜色交替的频率越频繁。

3.3 Transformer位置编码的重要性质

让我们再深入探究一下位置编码的性质。

(1) 性质一：两个位置编码的点积(dot product)仅取决于偏移量 $\bigtriangleup t$ ，也即两个位置编码的点积可以反应出两个位置编码间的距离。

证明：

$\begin{aligned} PE_{t}^{T}*PE_{t+\bigtriangleup t} &= \sum_{i = 0}^{\frac{d_{model}}{2}-1} [sin(w_it)sin(w_i(t+\bigtriangleup t) + cos(w_it)cos(w_i(t+\bigtriangleup t)]\\ &= \sum_{i = 0}^{\frac{d_{model}}{2}-1}cos(w_i(t-(t+\bigtriangleup t)))\\ & = \sum_{i = 0}^{\frac{d_{model}}{2}-1}cos(w_i\bigtriangleup t) \end{aligned}$

(2) 性质二：位置编码的点积是无向的，即 $PE_{t}^{T}*PE_{t+\bigtriangleup t} = PE_{t}^{T}*PE_{t-\bigtriangleup t}$

证明：

由于cos函数的对称性，基于性质1，这一点即可证明。

我们可以分别训练不同维度的位置向量，然后以某个位置向量 $PE_t$ 为基准，去计算其左右和它相距 $\bigtriangleup t$ 的位置向量的点积，可以得到如下结果：

这里横轴的k指的就是 $\bigtriangleup t$ ，可以发现，距离是对成分布的，且总体来说， $\bigtriangleup t$ 越大或者越小的时候，内积也越小，可以反馈距离的远近。也就是说，虽然位置向量的点积可以用于表示距离(distance-aware) ，但是它却不能用来表示位置的方向性(lack-of-directionality) 。

当位置编码随着input被喂进attention层时，采用的映射方其实是：

$PE_t^TW_Q^TW_KPE_{t+k}$

这里 $W_Q^T$ 和 $W_K$ 表示self-attention中的query和key参数矩阵，他们可以被简写成 $W$ （表示attention score的矩阵，到这里看不懂也没事，在self-attention的笔记里会说明的）。我们可以随机初始化两组 $W1$ , $W2$ ，然后将 $PE_t^TW_1PE_{t+k}$ , $PE_t^TW_2PE_{t+k}$ 和 $PE_t^TPE_{t+k}$ 这三个内积进行比较，得到的结果如下：

绿色和黄色即是 $W_1$ 和 $W_2$ 的结果。可以发现，进入attention层之后，内积的距离意识(distance-aware)的模式也遭到了破坏。更详细的细节，可以参见复旦大学这一篇用transformer做NER的论文中。

在transformer的论文中，比较了用positional encoding和learnable position embedding(让模型自己学位置参数）两种方法，得到的结论是两种方法对模型最终的衡量指标差别不大。不过在后面的BERT中，已经改成用learnable position embedding的方法了，也许是因为positional encoding在进attention层后一些优异性质消失的原因（猜想）。Positional encoding有一些想象+实验+论证的意味，而编码的方式也不只这一种，比如把sin和cos换个位置，依然可以用来编码。关于positional encoding，我也还在持续探索中。

本文正在参加人工智能创作者签约季

图解Transformer系列一：Positional Encoding（位置编码）