回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

相信大家看着这些之后会发现，每个问题，都不简单！

本篇将介绍前后中序的递归写法，一些同学可能会感觉很简单，其实不然，我们要通过简单题目把方法论确定下来，有了方法论，后面才能应付复杂的递归。

编写递归的条件

这里帮助大家确定下来递归算法的三个要素。每次写递归，都按照这三要素来写，可以保证大家写出正确的递归算法！

确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数，并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。
确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。

好了，我们确认了递归的三要素，接下来就来练练手：

以下以前序遍历为例：

确定递归函数的参数和返回值：因为要打印出前序遍历节点的数值，所以参数里需要传入vector来放节点的数值，除了这一点就不需要再处理什么数据了也不需要有返回值，所以递归函数返回类型就是void，代码如下：

void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec)

确定终止条件：在递归的过程中，如何算是递归结束了呢，当然是当前遍历的节点是空了，那么本层递归就要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接return，代码如下：

if (cur == NULL) return;

确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值，代码如下：

vec.push_back(cur->val);    // 中
traversal(cur->left, vec);  // 左
traversal(cur->right, vec); // 右

单层递归的逻辑就是按照中左右的顺序来处理的，这样二叉树的前序遍历，基本就写完了，再看一下完整代码：

前序遍历：

class Solution {
public:
    void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
        if (cur == NULL) return;
        vec.push_back(cur->val);    // 中
        traversal(cur->left, vec);  // 左
        traversal(cur->right, vec); // 右
    }
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        traversal(root, result);
        return result;
    }
};

那么前序遍历写出来之后，中序和后序遍历就不难理解了，代码如下：

77. 组合

中等

1.4K

216. 组合总和 III

中等

678

17.电话号码的字母组合

力扣题目链接(opens new window)

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

17.电话号码的字母组合

示例:

输入："23"
输出：["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].

说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：还得用回溯算法！| LeetCode：17.电话号码的字母组合 (opens new window)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

从示例上来说，输入"23"，最直接的想法就是两层for循环遍历了吧，正好把组合的情况都输出了。

如果输入"233"呢，那么就三层for循环，如果"2333"呢，就四层for循环.......

大家应该感觉出和77.组合 (opens new window)遇到的一样的问题，就是这for循环的层数如何写出来，此时又是回溯法登场的时候了。

理解本题后，要解决如下三个问题：

数字和字母如何映射
两个字母就两个for循环，三个字符我就三个for循环，以此类推，然后发现代码根本写不出来
输入1 * #按键等等异常情况

#数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个二维数组，例如：string letterMap[10]，来做映射，我这里定义一个二维数组，代码如下：

const string letterMap[10] = {
    "", // 0
    "", // 1
    "abc", // 2
    "def", // 3
    "ghi", // 4
    "jkl", // 5
    "mno", // 6
    "pqrs", // 7
    "tuv", // 8
    "wxyz", // 9
};

func letterCombinations(_ digits: String) -> [String] {

    // 按键与字母串映射

    let letterMap = [

        "",

        "", "abc", "def",

        "ghi", "jkl", "mno",

        "pqrs", "tuv", "wxyz"
    ]

    // 把输入的按键字符串转成Int数组

    let baseCode = ("0" as Character).asciiValue!

    print("digits = \(digits)")

    let digits = digits.map { c in

        guard let code = c.asciiValue else { return -1 }

        return Int(code - baseCode)

    }.filter { $0 >= 0 && $0 <= 9 }

    print("后来 的digits = \(digits)")
    
    guard !digits.isEmpty else { return [] }

    

    var result = [String]()

    var s = ""

    func backtracking(index: Int) {

        // 结束条件：收集结果

        if index == digits.count {

            result.append(s)

            return

        }

        

        // 遍历当前按键对应的字母串

        let letters = letterMap[digits[index]]

        print("letters=\(letters)",letters)

        for letter in letters {

            s.append(letter) // 处理

            backtracking(index: index + 1) // 递归，记得+1

            s.removeLast() // 回溯

        }

    }

    backtracking(index: 0)

    return result

}

letterCombinations("23")

131.分割回文串

力扣题目链接(opens new window)

给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。

返回 s 所有可能的分割方案。

示例: 输入: "aab" 输出: [ ["aa","b"], ["a","a","b"] ]

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：131.分割回文串 (opens new window)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

#思路

本题这涉及到两个关键问题：

切割问题，有不同的切割方式
判断回文

相信这里不同的切割方式可以搞懵很多同学了。

这种题目，想用for循环暴力解法，可能都不那么容易写出来，所以要换一种暴力的方式，就是回溯。

一些同学可能想不清楚回溯究竟是如何切割字符串呢？

我们来分析一下切割，其实切割问题类似组合问题。

例如对于字符串abcdef：

组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中再选取第三个.....。
切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中再切割第三段.....。

感受出来了不？

所以切割问题，也可以抽象为一棵树形结构，如图：

131.分割回文串

递归用来纵向遍历，for循环用来横向遍历，切割线（就是图中的红线）切割到字符串的结尾位置，说明找到了一个切割方法。

此时可以发现，切割问题的回溯搜索的过程和组合问题的回溯搜索的过程是差不多的。

#回溯三部曲

递归函数参数

全局变量数组path存放切割后回文的子串，二维数组result存放结果集。（这两个参数可以放到函数参数里）

本题递归函数参数还需要startIndex，因为切割过的地方，不能重复切割，和组合问题也是保持一致的。

在回溯算法：求组合总和（二） (opens new window)中我们深入探讨了组合问题什么时候需要startIndex，什么时候不需要startIndex。

代码如下：

vector<vector<string>> result;
vector<string> path; // 放已经回文的子串
void backtracking (const string& s, int startIndex) {

递归函数终止条件

131.分割回文串

从树形结构的图中可以看出：切割线切到了字符串最后面，说明找到了一种切割方法，此时就是本层递归的终止条件。

那么在代码里什么是切割线呢？

在处理组合问题的时候，递归参数需要传入startIndex，表示下一轮递归遍历的起始位置，这个startIndex就是切割线。

var result:Array<Array<String>> = []

var path:  Array<String> = []

  


func partition(_ s: String) -> [[String]] {

    let s = Array(s)

    func brace(_ startIndex:Int) {

        if startIndex >= s.count {

            result.append(path)

            return

        }

        var str = ""

        for i in startIndex..<s.count {

            str += String(s[i])

            if isValid(str) {

                path.append(str)

                brace(i + 1)

                path.removeLast()

            }

        }

    }

    brace(0)

    return result

}

  


  


  


func isValid(_ s:String) -> Bool {

    let arr = Array(s)

    var start = 0

    var end = arr.count - 1

    while start < end {

        if arr[start] != arr[end] {

            return false

        }

        start += 1

        end -= 1

    }

    return true

}

swift 刷算法笔记(四) - 回溯算法

回溯法解决的问题

编写递归的条件

77. 组合

216. 组合总和 III

17.电话号码的字母组合

#算法公开课

#思路

#数字和字母如何映射

131.分割回文串

#算法公开课

#思路

#回溯三部曲