单调队列算法模板及应用

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文章和代码已经归档至【Github仓库:github.com/timerring/a… 】或者公众号【AIShareLab】回复 算法笔记 也可获取。

队列算法模板

// hh 表示队头,tt表示队尾
int q[N], hh = 0, tt = -1;

// 向队尾插入一个数
q[ ++ tt] = x;

// 从队头弹出一个数
hh ++ ;

// 队头的值
q[hh];
// 对尾的值
q[tt];

// 判断队列是否为空
/*
	if(hh <= tt) not empty
	else empty
*/
if (hh <= tt)
{
}

例题:滑动窗口

单调队列的应用:求滑动窗口中的最大值和最小值

第一步把新元素插入队尾,第二步把滑出去的元素从队首弹出来。

给定一个大小为 n106n≤10^6 的数组。

有一个大小为 k 的滑动窗口,它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 k 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子:

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7],k 为 3。

窗口位置最小值最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7-13
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7-33
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7-35
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7-35
1 3 -1 -3 [5 3 6] 736
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]37

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时,窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 n 和 k,分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 n 个整数,代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出,从左至右,每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出,从左至右,每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例:

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例:

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

求最小值的过程相当于维护了一个升序的序列,每次队尾插入的值会使原队尾大于它的值一直弹出,最后输出时就会弹出该区间的最小值。

思路:

最小值和最大值分开来做,都做以下四步:

  • 队首是否出窗口;
  • 解决队尾与当前元素a[i]不满足单调性;
  • 将当前元素下标加入队尾;(一定要先3后4,因为有可能输出的正是新加入的那个元素;)
  • 如果满足条件则输出结果;

需要注意的细节:

队列中存的是原数组的下标,取值时要再套一层,a[q[]];

算最大值前注意将hh和tt重置;

此题用cout会超时,只能用printf;

hh从0开始,数组下标也要从0开始。

虽然有两个循环,但是时间复杂度是O(N)的,因为while那里判断条件最多执行常数次,比如新加入一个最小值,哪怕一直弹出到队首,队列长度才k个,k是常数,所以while最多执行k次,合起来就是O(kN),化简就是O(N)。

code

# include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;
int a[N], q[N];

int main()
{
    int n,k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    
    int hh = 0, tt = -1;
    // i是当前枚举的右端点,k是区间的长度
    // 队列q[]中存的是下标
    // 寻找最小值
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        // 判断队头是否应该滑出窗口
        // 因为每次窗口只移动一位,因此这里写if即可,不用写while
        // q[tt](队尾序号)的正常范围在i-k+1到i之间 你可以画图模拟一下,很简单
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
        // 如果新插入的数比队尾数要小的话,就将该队尾弹出
        // 可能会一直弹出到队首,也可能不会(队首比他还小)
        // 相当于维护了一个升序的序列
        while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt --; 
        // 然后将i存入q中的队尾
        q[ ++ tt] = i;
        // 如果i比区间长度大的话,打印q队头的序号的元素值,因为如果i从左向右移动还不足k个,那么就不用输出。只要队列目前没有超过 i - k + 1 > q[hh] 的限制,就一直输出队首的最小值。
        // 注意 i 是从 0 开始的,例如k = 3, 因此向右移动三次就是2,k - 1 = 2
        if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    
    // 最大值是一个完全对称的写法
    hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
        // 这里把大于改成小于即可
        // 相当于维护了一个降序的序列
        while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt --; 
        q[ ++ tt] = i;
        if(i >= k - 1)printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    return 0;
}