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前言

今天我们继续学习算法，加油。这篇文章写的是大数运算问题。希望这篇可以有幸帮助到你，码字不易，请多多支持。在这里插入图片描述

AcWing 3482. 大数运算

题目描述

给定两个整数a和b，计算它们的和、差、积。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共三行，分别输出它们的和、差、积。

注意：在输出结果时，不能有多余的前导零。

数据范围

输入数的绝对值不超过 $10^{400}$ ，且保证存在结果。

输入样例

20000000000000000
4000000000000000

输出样例

24000000000000000
16000000000000000
80000000000000000000000000000000

题解

本题主要考察高精度运算。具体来说，需要实现高精度加减乘法3个算法。

时间复杂度

高精度加法、减法、乘法的时间复杂度均为 $O(n)$ 。

空间复杂度

本算法空间复杂度为 $O(n)$ 。

C++代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;
int a[N], b[N], c[N];
vector<int> mul[N];

void add(int a[], int b[], int c[])
{
    int t = 0;
    for(int i = 0; a[i] != -1 || b[i] != -1; i++) 
    {
        if(a[i] != -1) t += a[i];
        if(b[i] != -1) t += b[i];
        c[i] = t % 10; // 当前位的值
        t /= 10; // 进位
    }
    if(t > 0) c[strlen(a)] = t; // 最高位进位
    else c[strlen(a)] = -1; // 标记末尾，避免后续运算错误
}

void sub(int a[], int b[], int c[])
{
    int t = 0;
    for(int i = 0; a[i] != -1 || b[i] != -1; i++)
    {
        if(a[i] != -1) t += a[i];
        if(b[i] != -1) t -= b[i];
        if(t < 0) c[i] = t + 10, t = -1; //当前位需要借位
        else c[i] = t, t = 0; // 当前位不需要借位
    }

    while(c[strlen(a)-1] == 0 && strlen(a) > 1)
        --c[strlen(a)-1];
    c[strlen(a)] = -1;
}

void mul(int a[], int b[], vector<int> &res)
{
    res.clear();

    if(a[0] == 0 || b[0] == 0)
    {
        res.push_back(0);
        return ;
    }

    for(int i = 0; b[i] != -1; i++)
    {
        int t = 0;
        for(int j = 0; a[j] != -1; j++)
        {
            t += a[j] * b[i];
            if(i == 0) mul[i].push_back(t % 10); // 将第一次求乘积的结果缓存起来
            else mul[i][j+i] += t % 10; // 在上一次基础上进行累加
            t /= 10;
        }
        if(t > 0) mul[i].push_back(t); // 存储最高位的进位
    }

    int t = 0;
    for(int i = 0; ; i++)
    {
        bool flag = true;
        for(int j = 0; j < b[strlen(b)-1]-'0'; j++)
            if(mul[j][i] != 0)
                flag = false;

        if(flag) break;

        for(int j = 0; j < b[strlen(b)-1]-'0'; j++)
            if(mul[j][i] != -1)
                t += mul[j][i];
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(t != 0)
    {
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
}

int main()
{
    string str;
    cin >> str;
    memset(a, -1, sizeof a), memset(b, -1, sizeof b), memset(c, -1, sizeof c);

    for(int i = 0; i < str.size(); i++) a[str.size()-i-1] = str[i]-'0';
    cin >> str;
    for(int i = 0; i < str.size(); i++) b[str.size()-i-1] = str[i]-'0';

    add(a, b, c);
    for(int i = strlen(c)-1; i >= 0; i--) cout << c[i];
    cout << endl;

    sub(a, b, c);
    for(int i = strlen(c)-1; i >= 0; i--) cout << c[i];
    cout << endl;

    mul(a, b, mul[0]);
    for(int i = mul[0].size()-1; i >= 0; i--) cout << mul[0][i];
    cout << endl;

    return 0;
}

解题思想：

该问题主要考察高精度加减乘法3个算法的实现。

高精度加法：

从低位到高位逐位相加，遇到有任意一个数位没有值时，置为0即可。具体步骤如下：

从低位到高位，依次将a、b的每一位相加
若某一位不存在，则视其为0
若当前位相加后产生了进位，则将进位留到下一位相加
若最高位计算出来还有进位，则把进位存储在最高位

高精度减法：

与高精度加法类似，从低位到高位逐位相减，遇到被减数小于减数则向高位借位即可。具体步骤如下：

从低位到高位，依次将a、b的每一位相减
若某一位不存在，则视其为0
若被减数小于减数，则需要向高位进行借位操作
去除结果数组中的前导0（注意结果如果为0需要特判）

高精度乘法：

高精度乘法是通过一个双重循环的方式求解的，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

具体来说，我们先用第二层循环按照个位、十位、百位……的顺序，将a数组中的每一位都与b数组中的每一位相乘，并记录它们的积。然后我们用第二层循环按照十位、百位、千位……的顺序继续进行运算，把前面得到的所有积加起来即可。

需要注意：由于两个高精度数的乘积有可能超出该类型能够表示的最大范围，所以在计算过程中可能无法存储完整结果，而需要进行分段计算。具体来说，我们可以先将a数组中的每一位分别与b数组中的每一位相乘，然后将所有这些积按位相加，并且在该位处存储进位的值。在最后输出答案时，我们需要忽略掉所有前缀0，只输出第一个非零数及其后面的数字。

最后

十分感谢你可以耐着性子把它读完和我可以坚持写到这里，送几句话，对你，也对我：

1.把时间尺度拉长，拉长十年看当下

2.不说负面情绪，只描述事实;

3.越专注于过好自己，能量和幸运越会照顾你；只解决问题，不做没有意义的担心，输了就认；

4.学会原谅自己，要允许自己做错事,允许自己出现情绪波动，我知道你已经很努力很努力在做好了

5.所有你害怕的、想逃避的事情，最终都要面对，既然这样不如选择坦然面对。即使结果不如人愿，没关系，至少这个过程是享受的，而不是一路带着恐惧和害怕。

最后如果觉得我写的还不错，请不要忘记==点赞==✌，==收藏==✌，加==关注==✌哦(｡･ω･｡)

愿我们一起加油，奔向更美好的未来，愿我们从懵懵懂懂的一枚==菜鸟==逐渐成为==大佬==。加油，为自己点赞！

【基础算法】大数运算问题

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