最大子序和（单调队列优化DP）

题目描述

输入一个长度为 $n$ 的整数序列，从中找出一段长度不超过 $m$ 的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。

注意：  子序列的长度至少是 $1$。

输入格式

第一行输入两个整数 $n,m$。

第二行输入 $n$ 个数，代表长度为 $n$ 的整数序列。

同一行数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，代表该序列的最大子序和。

数据范围

$1≤n,m≤300000$,
保证所有输入和最终结果都在 $int$ 范围内。

输入样例：

6 4
1 -3 5 1 -2 3

输出样例：

7

题目分析

这是一道 单调数列优化DP 的题目。

首先要先将原数列转化为前缀和数列，这样对于每个子序列我们都可以以 $O(1)$ 的复杂度得到区间和。

在暴力做法中，需要以 $O(nm)$ 的复杂度枚举子序列的左右端点，这是不可接受的。那么我们考虑只枚举右端点的情况来解决这个题。

定义 $f_i$ 表示以下标 i 结尾，且连续子序列长度不超过 m 的最大区间和。用数学式来表示：

$f_i = max\{s[i] - s[j]\},\;\;\;\;i-m\le j<i$

我们将此时的 $s[i]$ 提出来，得到：

$f_i = s[i] - min\{s[j]\},\;\;\;\;i-m\le j<i$

即我们需要维护前 $m$ 个 $s[j]$ 中的最小值，这里我们就可以采用单调队列优化的方式。即维护一个先入先出的队列，队首是在当前下标之前的 $m$ 个 $s_j$ 的最小值，在枚举当前坐标的过程中更新队头，具体过程见代码。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 300010;

int s[N], q[N];
int hh, tt;     // 这里 hh = tt = 0,即一开始我们将下标 0 纳入队列

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i], s[i] += s[i - 1];
    
    long long res = -1e10;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if (q[hh] < i - m) hh ++;
        res = max(res, 1ll * s[i] - s[q[hh]]);
        while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt --;     // 单调队列的核心代码
        q[++ tt] = i;
    }
    cout << res << "\n";
    return 0;
}