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  139.单词拆分

多重背包

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包问题 -> 01背包问题

public void testMultiPack1(){
    // 版本一：改变物品数量为01背包格式
    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;

    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
}

public void testMultiPack2(){
    // 版本二：改变遍历个数
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    int[] nums = new int[] {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
    }
}

解题过程

1、139.单词拆分

给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。

注意： 不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

思路： 完全背包问题。

动态规划五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
• 确定递推公式
  • 如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。
  • 所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。
• dp数组初始化
  • dp[0] = true。
• 确定遍历顺序
  • 排列数。因为字符串之间的顺序是重要的。
  • 先遍历背包，再遍历物品。
• 举例推导dp[i]
  • dp[s.size()]是最终结果。

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);
        boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
        dp[0] = true;

        for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
            for (int j = 0; j < i && !dp[i]; j++) {
                if (set.contains(s.substring(j, i)) && dp[j]) {
                    dp[i] = true;
                }
            }
        }

        return dp[s.length()];
    }
}

// 另一种思路的背包算法
class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
        dp[0] = true;

        for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
            for (String word : wordDict) {
                int len = word.length();
                if (i >= len && dp[i - len] && word.equals(s.substring(i - len, i))) {
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }

        return dp[s.length()];
    }
}

// 回溯法+记忆化
class Solution {
    private Set<String> set;
    private int[] memo;
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        memo = new int[s.length()];
        set = new HashSet<>(wordDict);
        return backtracking(s, 0);
    }

    public boolean backtracking(String s, int startIndex) {
        // System.out.println(startIndex);
        if (startIndex == s.length()) {
            return true;
        }
        if (memo[startIndex] == -1) {
            return false;
        }

        for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
            String sub = s.substring(startIndex, i + 1);
	    // 拆分出来的单词无法匹配
            if (!set.contains(sub)) {
                continue;                
            }
            boolean res = backtracking(s, i + 1);
            if (res) return true;
        }
        // 这里是关键，找遍了startIndex~s.length()也没能完全匹配，标记从startIndex开始不能找到
        memo[startIndex] = -1;
        return false;
    }
}

背包问题总结

最关键的两步：递推公式和遍历顺序。