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上一篇🔗快速幂（一）｜小巧而强大的算法

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通俗易懂的矩阵快速幂讲解，不懂不要小钱钱的那种～

本文是快速幂算法的应用的第一篇，其他快速幂应用还包括：

• 快速幂取模
• 高精快速幂

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简介

矩阵快速幂算法是将快速幂算法应用于矩阵乘法的一种算法，

其主要思想是通过将矩阵乘法转化为矩阵加法和矩阵乘法的组合，从而将时间复杂度降低到$O(\log n)$。

下面以斐波那契数列为例进行讲解。

斐波那契数列

斐波那契数列的通项公式为： $F_n= \begin{cases}1 & n=0 \\ 1 & n=1 \\ F_{n-1}+F_{n-2} & n>1\end{cases}$

使用矩阵表示斐波那契数列，则有：

$\left(\begin{array}{c}F_{n-1} \\ F_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}F_{n-2} \\ F_{n-1}\end{array}\right)$

为什么可以用矩阵快速幂

写出斐波那契数列：

1 1 2 3 5 8 13 21 ......

由通项公式可知，当$n\geq 3$时，$F_n$的值为前两项之和，

那么我们将第一项和第二项为第一组，第二项和第三项为第二组，能否通过第一组的某种运算得到第二组的结果呢？

设转移矩阵$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$使得 $\left(\begin{array}{c}F_{n-1} \\ F_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}F_{n-2} \\ F_{n-1}\end{array}\right)$

将第一组和第二组分别代入上式，得到：

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$

和

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)$

由矩阵乘法定义可得线性方程组如下：

$a \times 1 + b \times 1 = 1$

$c \times 1 + d \times 1 = 2$

$a \times 1 + b \times 2 = 2$

$c \times 1 + d \times 2 = 3$

解得 a = 0 b = 1 c = 1 d = 1

故，转移矩阵应为$\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$

又因为

$\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) \\ \quad \quad \quad =\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\\ \quad \quad \quad =\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)^2\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$

以此类推，fibonacci也可以根据该式转化为转移矩阵求幂的问题:

$\left(\begin{array}{c}F_{n-1} \\ F_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)^{n-1}\left(\begin{array}{l}F_{0} \\ F_{1}\end{array}\right)$

代码实现

具体地，我们可以定义一个矩阵乘法的快速幂函数，例如：(递归的)

def matrix_power(A, n):
    """
    This function raises a matrix A to the power of n using binary exponentiation.
    :param A: The matrix to be raised to a power.
    :param n: The power to raise the matrix to.
    :return: The resulting matrix.
    """
    # 如果n等于1，返回A
    if n == 1:
        return A
    # 如果n是偶数，递归调用matrix_power(A, n//2)并返回结果的平方
    if n % 2 == 0:
        tmp = matrix_power(A, n//2)
        return tmp @ tmp
    # 如果n是奇数，返回A乘以matrix_power(A, n + 1)的结果
    else :
        return A @ matrix_power(A, n + 1)

参考资料

一文彻底搞懂快速幂(原理实现、矩阵快速幂) - bigsai - 博客园 (cnblogs.com)

【竞赛向】斐波那契数列的矩阵快速幂求法_哔哩哔哩_bilibili