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全网最通俗易懂的快速幂基本思想讲解，不懂不要小钱钱的那种～

快速幂算法的应用将在后续文章进行叙述。

• 快速幂取模
• 矩阵快速幂
• 高精快速幂

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算法课的老师的作业，让班里每个人都上去做算法分享的presentation

本来只想讲个分治法浑水摸鱼，没想到同学一个比一个卷，随机森林，梯度下降，密码学......反正一个比一个🐂🍺plus啦，真真就，台下全讲冒泡，台上动规起步呗......听说大佬们还觉得梯度下降太简单，又准备了个plan b ，卷死我算了....

但是作业还是要交的啊，泪奔，我水平有限，就只能剑走偏锋。本文就是记录一下被迫营业的快速幂算法TAT。

简介

快速幂，顾名思义，快速计算幂的算法，也就是说当a或b都很大时，计算$a^b$的值或估算其位数的方法，它可能包含了某些动态规划或者分治的思想。

传统计算$a^b$可能要做b次乘法，也就是说其时间复杂度是$O(n)$，而快速幂的算法时间复杂度却能做到$O(\log(n))$，问题规模越大，快速幂的优势越明显

但：较复杂类型的快速幂的时间复杂度不再是$O(\log n)$，它与底数的乘法的时间复杂度有关，此句的解释可见本文递归算法思想一节。

算法思想（非递归）

我看到很多的教程都是从递归开始讲起，但我觉得非递归会更好理解一点。

非递归思想描述

将指数$n$分解成二进制数的形式，例如$n = (a_k a_{k-1} \cdots a_2 a_1)_2$，然后按照二进制位逐个处理，如果当前二进制位为$1$，则将底数累乘；否则将底数平方。

那么对于任意一个底数a和正整数n，我们都可以使用如下公式计算

$a^n=\prod\limits_{i=1}^k a^{a_i \cdot 2^{i-1}}$

通俗理解

从例子入手，如果问你$5^{13}$的值，你会不会将5乘上13次？

但如果将指数$n$分解成二进制数的形式：

$5^{13} = 5^{(1101)_2} = 5^{8} \times 5^{4} \times 5^{1}$

又因为：

$5^2 = (5^1)^2 , 5^4 = (5^2)^2 , 5^8 = (5^4)^2 \cdots$

$\therefore 运算次数 = \log_2 13 = 4次$

也就是说我们可以将$5^{13}$分解为四次运算（13转化为二进制有4位），每次运算的结果都是上一步结果的平方，这样我们就可以利用上一步的结果，快速获得最终值，算法的时间复杂度也因此降到了$\log(n)$的级别。

代码实现

// 非递归快速幂
int qpow(int a , int n){
  int res = 1;
  while (n) {
    if (n & 1) res = res * a; // 如果当前位为1，则将a乘到res上
    a = a * a; // a自乘
    n >>= 1; // n右移一位
  }
  return res; // 返回结果
}

// 这个实现使用while循环来迭代地计算a^b 的结果。
// 它从res = 1开始，如果b的当前位为1，则将a乘到res上。
// 它在每次迭代中将a平方并将b除以2（右移一位）。
// 在处理完b的所有位之后，返回最终结果。
// 这个实现的时间复杂度为O(log n)。

算法思想（递归）

递归思想描述

假设要计算$x^n$的值，其中$n$为正整数。首先将$n$转换为二进制表示，例如$n=(1011)_2$，则有：$n=2^3+2^1+2^0$ ,接下来，可以通过反复平方的方式，计算出$x^{2^0},x^{2^1},x^{2^2},x^{2^3}$的值，并根据$n$的二进制表示，选择将哪些幂次相乘，从而得到$x^n$的值。具体地，算法的流程如下：

• 对$n$进行二进制分解，得到$n$的二进制表示；

• 初始化$x_0=1$和$x_1=x$；

• 从$n$的二进制表示的最高位开始遍历，对于第$i$位：

  • 如果第$i$位为0，则将$x_i$的值更新为$x_i=x_{i-1}^2$；

  • 如果第$i$位为1，则将$x_i$的值更新为$x_i=x_{i-1}^2 \times x$；

• 最终的结果为$x_n=x_k \times x_{k-1} \times \cdots \times x_0$。

由于每次迭代都可以将幂次减半，因此算法的时间复杂度为$O(\log n)$。与朴素算法相比，快速幂算法在计算幂次时可以大大减少乘法的次数，从而实现更高效的计算。

上面的叙述可能不是那么容易懂，但它其实是非递归思想的一个逆过程。

通俗理解

更具体地，我们可以用下面的公式来描述快速幂算法：

$a^n= \begin{cases}a^{n-1} \cdot a, & \text { if } n \text { is odd } \\ a^{\frac{n}{2}} \cdot a^{\frac{n}{2}}, & \text { if } n \text { is even but not } 0 \\ 1, & \text { if } n=0\end{cases}$

当然对于上面的公式也可以这样想:

当你计算$5^{13}$时可能先使用分治算法，

13是奇数，那我可以计算$（13 \mod 2 + 1）= 7$次，此时的底则变为$5^2=25$,

原问题转化成$5^{13} = 5^{12} \times 5 = (5^2)^6 \times 5 = 25^6 \times 5$

而这个7次我还可以继续往下分，计算$（7\mod 2 + 1 ）= 4$次 ，此时原问题转化成$25^6 \times 5 = (25^2)^3 \times 5 = 625^3 \times 5$

当然这个4次我还可以继续往下分，原问题转化成$625^3 \times 5 = (625)^2 \times 625 \times 5 = 390625 \times 625 \times 5$

$390625 \times 625 \times 5= 1220703125$

......

经过上面的演示我们可以看出，使用递归思想的快速幂算法实质上是使用分治法减小幂，同时伴随着底的增大的过程。

这里就引申出另一个问题，虽然问题规模在不断变小，时间复杂度降为了log级别，但当底越来越大时，对其进行平方可能还会受制于大数乘法的时间限制。关于大数乘法相关描述将在后续文章中提及。

代码实现

// 递归快速幂
int qpow(int a , int n){
  if (n == 0) // 如果n为0，则返回1
    return 1;
  else if (n % 2 == 1) // 如果n为奇数，则返回qpow(a, n - 1) * a
    return qpow(a, n - 1) * a;
  else { // 如果n为偶数，则返回qpow(a, n / 2) * qpow(a, n / 2)
    int temp = qpow(a, n / 2);
    return temp * temp;
  }
}

快速幂的应用

快速幂算法可以应用于很多计算中，例如计算幂、取模运算等。

• 在计算机科学中，快速幂算法可以用于计算大数的幂，例如RSA加密算法。
  • 高精快速幂（洛谷p1045）
• 在数论中，快速幂算法可以用于计算模幂，
  • 计算$a^b \mod c$的值。（洛谷p1226）
• 在动态规划中，快速幂算法可以用于求解斐波那契数列问题。
  • 矩阵快速幂求解fibonacci
• 在图论中，快速幂算法可以用于计算邻接矩阵的幂。

参考资料

​一文彻底搞懂快速幂(原理实现、矩阵快速幂) - bigsai - 博客园 (cnblogs.com)

【竞赛向】斐波那契数列的矩阵快速幂求法_哔哩哔哩_bilibili