线性dp（数字三角形模型）

1027. 方格取数 - AcWing题库

思路

首先，这题其实就是找到从$1$到$n$最大$w$和次大$w$的和，但是走过的格子可以重复走，但走过就要把这个格子的价值变成$0$即可，可以考虑四维的状态转移方程$dp[i_1][j_1][i_2][j_2]$，但是再想一下就会发现我们考虑的所有状态都是在$i_1+j_1==i_2+j_2$的情况下，因此横纵坐标的和相等，故我们考虑$dp[k][i_1][i_2]$，$k$表示当横纵坐标之和,$i_1$和$i_2$分别表示两次路径经过点的横坐标，然后纵坐标$j_1$,$j_2$可以用$k-i_1$和$k-i_2$来表示，然后我们考虑状态转移，可以分为四部分，两条路径的点分别从前一个点转移过来，可以分为下下，下右，右下，右右这四种情况，即当前点石油前一个点经过以上操作得来的，点前的两个点左边为$(i_1,k-i_1),(i_2,k-i_2)$，那么前一个点的状态对应分别为$(i_1,k-i_1),(i_2,k-i_2-1)$，$(i_1,k-i_1-1),(i_2-1,k-i_2)$，$(i_1-1,k-i_1),(i_2,k-i_2-1)$，$(i_1-1,k-i_1),(i_2-1,k-i_2)$，然后如果$i_1==i_2$说明经过了同一个的点，那么我们就只能$+w[i_1][j_1]$，否则我们可以$+(w[i_1][j_1]+w[i_2][j_2])$

代码

#include  <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=11;
int dp[N*2][N][N],n,w[N][N],a,b,c;
int main(){
    cin>>n;
    while(cin>>a>>b>>c){
        if(a==0 && b==0 && c==0) break;
        w[a][b]=c;
    }
    for(int k=2;k<=n*2;k++){//k一定要从2开始，因为(1,1)横纵坐标之和为2
        for(int i1=1;i1<=n;i1++){
            for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1<1 || j1>n || j2<1 || j2>n) continue;//保证j1和j2在[1,n]之间
                int t=w[i1][j1];
                if(j1!=j2) t+=w[i2][j2];//判断是否重合
                dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1-1][i2-1]+t);//下下
                dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1][i2-1]+t);//右下
                dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1-1][i2]+t);//下右
                dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1][i2]+t);//右右
            }
        }
    }
    cout<<dp[2*n][n][n];//最后横纵坐标加和=2*n,且都到(n,n)点的最大值。
    return 0;
}

AcWing 275. 传纸条 - AcWing

分析

这题和上一题几乎一模一样，思路也一样，但有几个细节不一样，要注意一下，第一，横纵坐标之和变成了$n+m$，然后再后面两重循环的时候要注意$k-i_1$和$k-i_2$要在$[1,m]$之间，所以由此求出$k-m≤i_1≤k-1$，$k-m≤i_2≤k-1$，其他都一样。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=55;
int dp[N*2][N][N],w[N][N],n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    for(int k=2;k<=n+m;k++){
        for(int i1=max(1,k-m);i1<=min(k-1,n);i1++){
            for(int i2=max(1,k-m);i2<=min(k-1,n);i2++){
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1<1 || j1>m || j2<1 || j2>m) continue;
                int t=w[i1][j1];
                if(i1!=i2 || k==2 || k==m+n){
                    t+=w[i2][j2];
                    dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                    dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1-1][i2]+t);
                    dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1][i2-1]+t);
                    dp[k][i1][i2]=max(dp[k][i1][i2],dp[k-1][i1][i2]+t);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n+m][n][n];
    return 0;
}

一些过于简单的题就不展示了$QAQ!$。