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在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: [   [1,3,1],   [1,5,1],   [4,2,1] ] 输出: 12 解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物  

提示：

0 < grid.length <= 200 0 < grid[0].length <= 200

解题思路：

动态规划解析：

空间复杂度优化：

复杂度分析：

时间复杂度 O(MN) ： M,N 分别为矩阵行高、列宽；动态规划需遍历整个 grid 矩阵，使用 O(MN) 时间。

空间复杂度 O(1) ： 原地修改使用常数大小的额外空间。

代码：

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (i == 0 && j == 0) {
                    continue;
                } else if (i == 0) {
                    grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j];
                } else if (j == 0) {
                    grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j];
                } else {
                    grid[i][j] = grid[i][j] + Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return grid[n - 1][m - 1];
    }
}

以上代码逻辑清晰，和转移方程直接对应，但仍可提升效率：当 grid 矩阵很大时， i=0 或 j=0 的情况仅占极少数，相当循环每轮都冗余了一次判断。因此，可先初始化矩阵第一行和第一列，再开始遍历递推。

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;

        // 初始化第一行
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            grid[i][0] = grid[i][0] + grid[i - 1][0];
        }

        // 初始化第一列
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            grid[0][j] = grid[0][j] + grid[0][j - 1];
        }

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                grid[i][j] = grid[i][j] + Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid[n - 1][m - 1];
    }
}