1.图的定义和基本术语
- 图的定义
- 图的基本术语
2.图的存储结构
- 邻接矩阵
- 邻接表
- 十字链表
- 邻接多重表
3.图的遍历
- 深度优先搜索
- 广度优先搜索
4.图的应用
- 最小生成树
- 最短路径
- 拓扑排序
- 关键路径
1.1图的定义
图的结构是由顶点和边构成的
规定：图G由两个集合V,E组成，记为G=（V,E）
V：是顶点的集合，E：是边的集合
图：有向图，无向图
有向图：
两个顶点之间的边有方向，对应的图为有向图
（对<A,B>而言，A是有向边的始点，B是有向边的终点，<A,B>和<B,A>是两条不同的边）
无向图：
两个顶点之间的边有方向，对应的图为无向图
（对（A,B）而言，没有方向而言，只是表明是顶点A,B之间的边，（A,B）和（B,A）是同一条边）
1.2图的基本术语
子图：就是在图1的基础上少了一些顶点和边，G1包含G2
（注意：G2顶点的边必须和G1一致）
无向完全图和有向完全图：无向完全图就是每一个顶点都需要连接上其他顶点，有向完全图就是每个顶点都需要连接上其他顶点，但由于弧是有向的，所以需要反向在连接一遍
（注意：有向边也称弧，箭头端称弧头，箭尾端弧尾）
稀疏图和稠密图：有很少边（弧）称为稀疏图，反之称稠密图
权和网：在实际行动中，每条边可以标上具有特殊含义的数值，称该数值是该边的权值，这种带权值的图称为网
邻接点：就是两个顶点之间有边相连
度，入度，出度：顶点的度就是指与该顶点相关联的边的数目（邻接点），入度和出度是对有向图而言的，顶点入度就是指弧头指向该顶点，顶点出度就是指弧尾指向该顶点
路径和路径长度：路径指的是一个顶点v到一个顶点v1之间经过的一系列顶点的序列，路径长度指的是一条路径上经过的边或者弧的数目
（注意：如果G是有向的，则路径也是有向的）
回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
简单路径，简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，将第一个顶点和最后一个顶点相连则称简单回路或简单环
连通，连通图和连通分量 ：在无向图中，如果顶点v1到顶点v2有路径，则称两个顶点是连通的，如果在图中任意两个顶点都相连则称这个该图为连通图，连通分量指的是无向图中的极大连通子图
强连通图和强连通分量：在有向图中，如果在图中任意两个顶点都相连则称这个该图为强连通图，连通分量指的是有向图中的极大连通子图
连通图的生成树：一个极小的连通子图，它含有图中的全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
（注意：有n-1条边的图不一定是生成树）
有向树和生成森林：有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图称为有向树，若干个有向树则生成一个有向图的森林
2.1邻接矩阵
2.1.1邻接矩阵表示法
🔴:邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵
使用一个二维数组存储邻接矩阵，还需要一个一维数组来存储顶点信息
对于图：A[i] [j]=1/0，当等于1时表示存在（i，j）/<i，j>边，当等于0时表示不存在（i，j）/<i，j>边
对于网：A[i] [j]=权值/无穷大，规定：当等于权值时表示存在（i，j）/<i，j>边，当等于无穷大时表示不存在（i，j）/<i,j>边
（无穷大表示计算机运行的，大于所以边上的权值的数）
2.1.2采用邻接矩阵表示法创建无向网
- 输入总顶点数和总边数
- 依次输入点的信息并将其存入顶点表中
- 初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值
- 构造邻接矩阵，依次输入每条边依附的顶点和其权值，确定两个顶点在图中的位置之后，使相应边赋予相应边的权值，同时让关于主对角线的边赋予相同的权值
🔴:主对角线的值始终为0
2.1.3邻接矩阵表示法的优缺点
优点：
- 便于判断两个顶点之间是否有边，即根据A[i] [j]=0/1来判断
- 便于计算各个顶点的度（对于无向图，邻接矩阵第i行元素之和计算顶点的度，对于有向图，第i行元素之和就是顶点出度，第i列元素之和就是顶点i的入度）
缺点：
- 不便于增加和删除顶点
- 不便于统计边的数目，时间复杂度为O（n*n）
- 空间复杂度高，空间复杂度为O（n*n）这对稀疏图尤其浪费
2.2邻接表
2.2.1邻接表的表示法
邻接表是图的一种链式存储结构
每个顶点v建立一个单链表，把与v相邻接的顶点放在这个链表中
邻接表由表头节点表，边表组成
表头节点表：由所有表头节点以顺序结构的形式存储，以便可以随机访问任一顶点的边链表
表头节点包括数据域和链域
边表：由表示图中顶点间关系的2n个边链表组成
边链表包括邻接点域，数据域和链域
🔴 其中邻接点域指示与顶点v邻接的点在图中的位置（一般填入顺序结构的下标）
简单来说：就是一个顶点需要建立一个单链表，每个单链表里面有一个表头节点和多个边节点，而多个边节点组成一个边链表。
而全部顶点的表头节点加起来称表头节点表，全部顶点的边链表加起来称边链表
表头节点+边链表=邻接表
- 对于无向图而言：
表头节点存放：（下标），数据域，链域
边链表存放：（下标），链域
- 对于有向图而言：
表头节点存放：（下标），数据域，链域
边链表存放：（下标），链域
顶点v的边链表有几个节点仅代表顶点v有几个出度，无法确定入度
所以：建立逆邻接表（每个顶点v建立一个链接所有进入v的边的表）
链域指向入度的下标
- 对于网而言：
表头节点存放：（下标），数据域，链域
边链表存放：（下标），数据域，链域
2.2.2采用邻接表表示法创建无向图
- 输入总顶点数和总边数
- 依次输入点的信息存放在顶点表中，使每个表头节点的指针域初始化为NULL
- 创建邻接表，依次输入每条边依附的两个顶点，确定这两个顶点的序号i和j后，将此边节点分别插入到对应的两个表头节点
2.2.3邻接表表示法的优缺点
优点：
- 便于增加和删除顶点（仅需要生成一个边表节点并插入边链表头部即可）
- 便于统计边的数目，按顶点表顺序查找所有边表即可，时间复杂度：O(N+e),其中N为顶点数，e为边数
- 空间效率高，适合使用稀疏图
缺点：
- 不便于判断顶点之间是否有边，要判断（vi，vj）边，就需要查找第i个边表，最坏的情况时间复杂度为O(N)
- 不便于计算有向图各个顶点的度，因为使用邻接表只能求出度，使用逆连接表只能求入度
2.3十字链表
十字链表是对有向图的另一种链式存储结构（可以看成是邻接表和逆邻接表结合的链表）
十字链表=弧节点+顶点节点（每一条弧有一个节点，每个顶点也有一个节点）
对于弧节点：
尾域，头域，链域hlink，链域tlink，info域
- 尾域和头域分别指示弧尾和弧头这两个顶点在图中的位置
- 链域hlink和链域tlink分别指示指向弧头相同的下一条弧和指向弧尾相同的下一条弧
- info域用来存放该弧的相关信息
对于顶点节点：
数据域，firstin域，firstout域
- 数据域用来存储和顶点相关的信息
- firstin域和irsstout域分别用来指向该顶点为弧头或弧尾的第一个弧节点
先写弧节点，在根据入弧和出弧的关系将顶点节点和弧节点联系起来
🔴弧节点所在的链表非循环链表，表头节点（顶点节点）之间不是链接关系而是顺序存储关系
2.4邻接多重表
邻接多重表是对无向图的另一种链式存储结构
每一条边用一个节点表示，它有6个域组成
- mark为标志域，可用标记该条边是否被搜索过
- ivex和jvex为该边依附的两个顶点在图中的位置
- ilink指向下一条依附于顶点ivex的边
- jlink指向下一条依附于顶点jvex的边
- info为指向和边相关的各种信息的指针域
每一个顶点用一个节点表示，它有2个域组成
- 数据域用于存储和该顶点相关的信息
- firstedge指示第一条依附该顶点的边
3.1深度优先搜索
- 从图中某个顶点v出发，访问v
- 找到刚访问过的顶点的第一个未访问的邻接点，访问该节点，以该节点为新节点，重复此步骤直到刚访问过的节点没有未访问过的节点为止
- 返回前一个访问过的且仍有未被访问的邻接点的顶点，然后还是寻找它未被访问过的邻接点并访问
- 重复2.3步骤，直到图中全部顶点都被访问了
🔵与树的先序遍历类似
3.2广度优先搜索
从某个顶点v出发，访问v，使v入列
只要队列不为空，重复以下操作：
- 队头元素u出队
- 依次检查u的所有邻接点w，如果w存在且未被访问，则访问w且将w入队
🔵与树的层次遍历类似
🔴：深度优先搜索和广度优先搜索都需要建立一个数组，该数组来判断顶点是否已经被访问过
4.1最小生成树
对于网而言，让权值之和最小的路径，对于实际操作而言，让实际代价（时间，金钱）最小的路径称为最小生成树（注意：没有方向）
🔴生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图
- 一个图可以有许多棵不同的生成树
- 生成树的顶点=图的顶点
- 生成树是图的极小连通子图
- 生成树中在加一条边必然形成回路，有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边
两种算法构造最小生成树：普里姆算法（prim）和克鲁斯卡尔算法（kruskal）
1.普里姆算法（记录点）
1.假设U是已经落在生成树的顶点集合，V-U是未落到生成树上的顶点集合，TE是最小生成树中边的集合
2.寻找V-U中权值最小的边（u，v），将该边记录到TE中，并将对应的顶点记录到U中
3.递归，每次找到新的顶点，需要重新从头开始访问，直到U=V为止
（时间复杂度：O（n*n））
2.克鲁斯卡尔算法（记录边）
1.先令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图（每个顶点自成一个连通分量）
2.加权最小的边（不能成环），重复直到每个顶点都相连
（时间复杂度：O（e））
4.2最短路径
在带权有向网中，选择权值之和最小的路径，在实际操作中，让实际代价（时间，金钱）最小的路径称最短路径。
习惯上称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点（有方向）
两种常见的最短路径的问题：一种是求从某个源点到其余各顶点的最短路径，另一种是求每一对顶点之间的最短路径
1.求从某个源点到其余各顶点的最短路径（即每个顶点都需要经过）
1.先从源点出发，寻找到各终点的自达路径（仅一条弧）
2.对那些没有直达路径的顶点，选择先经过其他顶点在到达该顶点，对比选择权值之和最小的路径
按照迪杰斯特拉算法，先求有v直达路径的顶点的路径，然后按照路径长度递增的次序依次得到v到其他顶点的路径
迪杰斯特拉算法：使用带权的邻接矩阵来表示有向网
需要一些辅助数组
- 一维数组s：记录从源点到终点是否已被确定了最短路径长度
- 一维数组path：记录从源点到终点的当前最短路径上的直接前驱顶点序号，其初值：如果有弧则记录该顶点，无弧则记录-1
- 一维数组d：记录从源点到终点的当前路径最短路径长度，其初值：如果有弧则记录权值，无弧则表示无穷大
2.求每一对顶点之间的最短路径（不需要每个顶点经过）
将vi到vj最短路径长度初始化，然后进行n次比较和更新
1.对逐个顶点进行试探
2.从vi到vj的所有存在的路径中选出一条最短的路径
弗洛伊德算法：使用带权的邻接矩阵来表示有向网
需要一些辅助数组
- 二维数组path：最短路径上顶点vj的前一顶点的序号
- 二维数组d：记录vi，vj之间的最短路径长度
4.3拓扑排序
🔵: 拓扑排序一开始需要先访问一个入度为0的顶点，然后必须先把以该顶点为弧尾的其他顶点先访问完，在以同样的规则访问其他的顶点
AOV—网：用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先顺序的有向图
在网中，若顶点vi到vj有一条有向路径，则vi是前驱，vj是后继，若是一条弧，则称vi是直接前驱，vj是直接后继
拓扑排序：
将AOV-网中所有顶点排成一个线性序列（通俗来说：就是活动A开始的前提条件是活动B已经结束）
拓扑排序的过程：
- 在有向图中选一个无前驱的顶点且输出它
- 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧
- 重复1.2，直到不存在无前驱的顶点
若发现输出的顶点数等于有向图的顶点数，则说明输出的序列是拓扑排序
🔴：一般来说：当顶点连接了多个其他顶点，按照序号顺序大小输出（一个AOV网的拓扑排序不唯一）
需要一些辅助数据结构：
1.一维数组：存放各顶点入度，没有前驱的顶点就是入度为0的顶点
2.栈s：暂存所有入度为0的顶点（可以避免重复查找数组）
3.一维数组：记录拓扑排序的顶点序号
4.4关键路径
⚫️: 图的关键路径是建立在图的拓扑序列之上进行的（即也需要经过全部顶点）
AOE-网：以边表示活动的网，其中，顶点代表事件，弧代表活动，权代表活动持续时间，通常AOE-网用来估算工程的完成时间
源点：入度为0的顶点
汇点：出度为0的顶点
带权路径长度：一条路径中各弧上的权值之和
关键路径：找出一条从源点到汇点的带权路径长度最长的路径
（无论其他路径怎么走，都需要等待关键路径走完，才能到达最后顶点，也就是说整个图的所有顶点访问完所需要的时间只由关键路径决定）
关键活动：关键路径上的活动称关键活动
- 事件vi最早发生的时间（多路径选最大值）
等于从源头到vi的最长路径长度
- 事件vi最迟发生的时间（多路径选最小值）
等于后继事件vk的关键路径的时间—活动<vi,vk>的持续时间
- 活动ai=<ai，aj>最早发生的时间（弧尾顶点最早开始时间）
等于事件vi最早发生的时间
- 活动ai=<ai，aj>最迟发生的时间（弧头顶点最迟时间）
等于事件vj的最迟发生的时间—活动ai持续的时间
关键路径算法：使用邻接表作为有向图的存储结构
需要一些辅助数据结构
1.一维数组：事件vi的最早发生时间
2.一维数组：事件vi的最迟发生时间
3.一维数组：记录拓扑序列的顶点序号
