最低通行费用（31-41）

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题目描述

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出，每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去，而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

求最小的消耗费用。

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 N 行，每行 N 个不大于 100100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤100

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

题目分析

本题为数字三角形模型的一种应用。

分析题意，即要用不多于 $2N-1$ 步从左上角走到右下角，商人被约束在整个方格中，方格的边缘不允许穿越。

乍一看题意很哄人，很像利用 $dfs$ 进行爆搜。

其实不然，首先我们要注意题目的一个条件，即不多于 $2N-1$ 步，这里需要介绍一个概念——曼哈顿距离。

• 曼哈顿距离：

• 两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，dm = |x1−x2| + |y1−y2|

我们对题目进行分析，发现从左上到右下的最少步数即为 $2N-1$，这也就意味着每一步只能向右或者向下走，由此看来，题目便转化为上一题的解题方案了。

题目细节在代码中展现。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
int g[N][N], f[N][N];

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            cin >> g[i][j];
    
    for (int i = 0; i <= n; i ++) f[0][i] = f[i][0] = 0x3f3f3f3f;
    // memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][1] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + g[i][j];
    
    cout << f[n][n];
    return 0;
}