李白打酒加强版（31-34）

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题目描述

话说大诗人李白，一生好饮。

幸好他从不开车。

一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒 22 斗。

他边走边唱：

无事街上走，提壶去打酒。

逢店加一倍，遇花喝一斗。

这一路上，他一共遇到店 $N$ 次，遇到花 $M$ 次。

已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。

请你计算李白这一路遇到店和花的顺序，有多少种不同的可能？

注意：壶里没酒 ($0$ 斗) 时遇店是合法的，加倍后还是没酒；但是没酒时遇花是不合法的。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 M$。

输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，输出模 $1000000007$ 的结果。

数据范围

对于 40%40% 的评测用例：$1≤N,M≤10$。
对于 100%100% 的评测用例：$1≤N,M≤100$。

输入样例：

5 10

输出样例：

14

样例解释

如果我们用 $0$ 代表遇到花，$1$ 代表遇到店，$14$ 种顺序如下：

010101101000000
010110010010000
011000110010000
100010110010000
011001000110000
100011000110000
100100010110000
010110100000100
011001001000100
100011001000100
100100011000100
011010000010100
100100100010100
101000001010100

题目分析

本题为十三届蓝桥杯省赛中的一道题目，考察的是线性DP的问题。

首先我们考虑暴力解法，李白遇酒店 $n$ 次，遇花 $m$ 次，总数为 $n+m$ 次，可以知道每次遇见为酒店或花，于是我们可以依次假设遍历，遍历的复杂度为 $O(2^n)$，可知显然无法通过所有样例。

考虑动态规划。

定义 f[i][j][k] 表示已经遇见了 $i$ 次酒店，$j$ 次花且当前剩余酒量为 $k$ 的所有方案数。对于 $i,j$ 的范围，显然 $0\le i \le n,\; 0\le j \le m$，那么 $k$ 呢？

我们可以发现，所有方案中只有遇见花为减少酒量，而最终酒量为 $0$，遇见花的次数为 $m$，这也便意味着 $k$ 的最大次数不会超过 $m$，若大于 $m$ 则最终无法归零。

初始化 f[0][0][2] = 1，最终答案可用 f[n][m-1][1] 表示。

按本次遇见酒店或是花为状态转移，最终复杂度为 $O(nm^2)$。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110, mod = 1000000007;

int n, m;
int f[N][N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    f[0][0][2] = 1;
    for (int i = 0; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
            for (int k = 0; k <= m; k ++)
            {
                int& v = f[i][j][k];
                if (i && k % 2 == 0) v = (v + f[i - 1][j][k / 2]) % mod;
                if (j) v = (v + f[i][j - 1][k + 1]) % mod;
            }
    cout << f[n][m - 1][1];
    return 0;
}