背包问题求方案数（21-21）

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背包问题求方案数

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 $10^9+7$ 的结果。

输入格式

第一行两个整数，$N，V，$ 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示 方案数 模 109+7109+7 的结果。

数据范围

$0<N,V≤1000$ $0<vi,wi≤1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

2

题目分析

相较于传统01背包，本题多出一个求方案数。

首先定义 $f[i]$ 用来表示背包体积为 $i$ 时的最佳方案的总价值，$g[i]$ 用来表示背包体积为 $i$ 时总价值为最佳的方案数。

在进行 $f$ 数组的更新时，我们要以选或不选当前物品的总价值是否改变进行分开讨论。

初始化所有的 $g[i]$ 为 $1$，表示价值为 $0$ 时的方案数为 $1$。

如果选择第 $i$ 件物品时的总价值更大，更新 $f[i]$ 为 $f[j-v]+w$。

如果总价值相等，则当前 $i$ 的最大方案数加上 $f[j-v]$ 种。

同时按照题意对 $mod$ 取模。

时间复杂度为 $O(nm)$。

Accept代码 O(nm)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int f[N], g[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    g[0] = 1;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
        {
            int maxv = max(f[j], f[j - v] + w);
            int s = 0;
            if (f[j] == maxv) s = g[j];
            if (f[j - v] + w == maxv) s = (s + g[j - v]) % mod;
            f[j] = maxv, g[j] = s;
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        if (f[i] > f[res])
            res = i;

    int sum = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i ++ )
        if (f[i] == f[res])
            sum = (sum + g[i]) % mod;

    cout << sum << endl;

    return 0;
}