树——从二叉搜索树到红黑树 | 青训营笔记

这是我参与「第五届青训营」笔记创作活动的第10天

本系列文章将会以 MySQL 中 InnoDB 存储引擎的 B+ 树为导引,从最基本的树一步步学习到高级的 B树 B+树等高级数据结构.本篇文章首先介绍树和二叉树类.

树不同于链表或哈希表，是一种非线性数据结构，树分为二叉树、二叉搜索树、B树、B+树、红黑树等等。本文试图从最基本的树开始研究各种类型的树的原理和特点。

树的介绍

树是一种数据结构，它是由n个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。用图片来表示的话，可以看到它很像一棵倒挂着的树。因此我们将这类数据结构统称为树，树根在上面，树叶在下面。一般的树具有以下特点：

每个节点有0个或者多个子节点
没有父节点的节点被称为根节点
每个非根节点有且只有一个父节点
每个子结点都可以分为多个不相交的子树

下面的图片展示了一棵三层的树，其中，A是根节点。它看起来像一棵倒挂的树。

graph TD
	A --> B
	A --> C
	B --> D
	B --> E
	C --> F
	C --> G
	C --> H

有关树的术语如下：

如果一个节点有子树，则这个节点称为子树根节点的双亲，子树的根节点是该节点的孩子。有相同双亲的节点互为兄弟。一个节点上的所有子树的任何节点都是该节点的后裔。例如，B是A的孩子，A是B的双亲，B和C互为兄弟。BCDEFGH都是A的后裔。
节点的度：指的是节点拥有的子节点的数目。例如，C节点的度为3。
叶子节点：顾名思义，叶子节点的意思即为它没有子节点。它的度为0。
层：指示一个节点在这棵树上的位置。根节点的层为1，其他节点的层值为父节点的层+1。
无序树：若一棵树中每个节点的子节点在父节点中的顺序不重要，则这棵树被称为无序树。
有序树：一棵树中每个节点的子节点在父节点中的顺序重要，则为有序树。

二叉树

二叉树的定义是：每个节点最多有两个子节点。即每个节点只能有以下四种情况：

左子树和右子树均为空
只存在左子树
只存在右子树
左子树和右子树均存在

性质

二叉树第 $i$ 层上的节点数目最多为 $2^i-1$
深度为 $k$ 的二叉树中最多有 $2^k-1$ 个节点
包含 $n$ 个节点的二叉树的高度至少为 $log_2(n+1)$
二叉树中,设叶子节点数为 $n_0$ ,度为2的节点数为 $n_2$ ,则 $n_0=n_2+1$

不同形态的二叉树

满二叉树

高度为 $h$ ,并且由 $2^h-1$ 个节点组成的二叉树,被称为满二叉树. 满二叉树的特点在于,每个节点的度只能是0或者2

graph TD
	A --> B
	A --> C
	B --> D
	B --> E
	C --> F
	C --> G

完全二叉树

一棵二叉树中,只有最下面两层节点的度可以小于2,并且最下一层的叶子节点集中在靠左的若干位置上.

graph TD
	A --> B
	A --> C
	B --> E
	B --> F
	E --> G
	E --> H
	F --> I
	C --> J
	C --> K

疑问:为什么要提出完全二叉树?

ChatGPT 的回答:

完全二叉树的概念被提出主要是因为它具有以下的特殊性质：

对于深度为 k 的完全二叉树，它的节点个数是 $2^k-1$ ，其中 $k$ 是非负整数。这个特性使得我们可以快速地计算出完全二叉树的节点个数，而不必遍历整棵树。

完全二叉树可以使用数组来存储，具有非常高的空间利用率，因为节点之间没有空隙。对于完全二叉树的第 $i$ 个节点（根节点为第 1 个节点），它的左子节点为 $2i$ ，右子节点为 $2i+1$ ，父节点为 $i/2$ （向下取整）。这种存储方式可以大大简化二叉树的操作，如查找、插入和删除等。

在堆（Heap）这种数据结构中，完全二叉树也扮演着非常重要的角色。在大根堆（Max Heap）中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在小根堆（Min Heap）中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。因为完全二叉树具有上述的性质，所以堆一般采用完全二叉树来实现。

因此，完全二叉树不仅具有自身的特殊性质，而且还与其他数据结构和算法密切相关，是计算机科学中非常重要的概念之一。

二叉查找树

又被称为二叉搜索树,特点是: 左子节点比节点小,右子节点比节点大,如下图所示:

graph TD
	8 --> 4
	8 --> 10
	4 --> 2
	4 --> 6
	2 --> 1
	2 --> 3
	6 --> 5
	6 --> 7
	
	10 --> 9
	10 --> 11