思想

二叉树的核心思想是分治和递归，特点是遍历方式。
解题方式常见两类思路：

遍历一遍二叉树寻找答案；
通过分治分解问题寻求答案；

遍历分为前中后序，本质上是遍历二叉树过程中处理每个节点的三个特殊时间点：

前序是在刚刚进入二叉树节点时执行；
后序是在将要离开二叉树节点时执行；
中序是左子树遍历完进入右子树前执行；

# 前序
     1 node
    /      \
 2 left   3 right
中左右
 
# 中序
     2 node
    /      \
 1 left    3 right
左中右
 
# 后序
     3 node
    /      \
 1 left    2 right     
左右中

多叉树只有前后序列遍历，因为只有二叉树有唯一一次中间节点的遍历

题目的关键就是找到遍历过程中的位置，插入对应代码逻辑实现场景的目的。

实例

二叉树中的最大路径和 leetcode 124

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

输入：
root: TreeNode，二叉树的根节点

输出：
int，返回二叉树中的最大路径和，路径是指从树中任意节点出发，沿父-子节点连接，达到任意节点的序列，且同一个节点在同一路径中至多出现一次。路径和指的是路径中各个节点值的总和。

举例：
给定二叉树 [-10,9,20,null,null,15,7]
路径包括: 9
9 -> -10
9 -> -10 -> 20
9 -> -10 -> 20 -> 7
9 -> -10 -> 20 -> 15
-10
-10 -> 20
-10 -> 20 -> 15
-10 -> 20 -> 7
20
20 -> 15
20 -> 7
15
15 -> 20 -> 7
要注意，最大路径和不一定是最长路径，例如上面的最大路径和是 15 + 20 + 7 = 42。

二叉树的数据存储可以使用链表，也可以使用数组，往往数组更容易表达，根节点从 index=1 处开始存储，浪费 index=0 的位置
left_child = 2 * parent
right_child = 2 * parent + 1 parent = child // 2

分治解

从根节点开始，先简化问题，有三种路径形成方式：

左右子树的最大路径和都小于 0，这时只取根节点，是最大路径和；
左子树的最大路径和小于 0，此时最大路径和的路径是：根节点 + 右子树的最大路径和所经过的路径；
右子树的最大路径和小于 0，此时最大路径和的路径是：根节点 + 左子树的最大路径和所经过的路径；

上例来看：

从根节点 -10 出发，左子树最大路径和是 9，右子树是 20 + 15 = 35，当下最大路径和是 -10 + 9 + 35 = 34；
-10.left=9，从 9 出发，左右子树都是空，所以当下最大路径和是 9；
-10.right=20，从 20 出发，左子树最大路径和是 15，右子树最大路径和是 7，当下最大路径和是 15 + 20 + 7 = 42；
20.left=15，从 15 出发，左右子树都是空，所以当下最大路径和是 15；
20.right=7，从 7 出发，左右子树都是空，所以当下最大路径和是 7；

全局最大路径和是 42

编码


from typing import Optional


class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right


def binary_tree_maximum_path_sum(root: Optional[TreeNode]) -> int:
    max_sum  = None

    def max_path_sum(root: Optional[TreeNode]) -> int:
        # 初始条件，空时返回 0
        if root is None:
            return 0
        # 判断左右子树最大值，如果小于 0 则路径不选择左右子树的节点
        left_max = max(0, max_path_sum(root.left))
        right_max = max(0, max_path_sum(root.right))
        # 更新全局最大值
        nonlocal max_sum
        if max_sum is None:
            max_sum = root.val + left_max + right_max
        else:
            max_sum = max(root.val + left_max + right_max, max_sum)
        # 返回当前遍历的最大值，一定包含 root 节点，并选择左右子树较大的一个
        return root.val + max(left_max, right_max)

    max_path_sum(root)
    return max_sum

二叉树 6 （二叉树中的最大路径和 leetcode 124）

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