3.2 集合

西大山01号车神
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集合的概念

集合与元素:

集合是一个不能精确定义的概念，将具有某种性质的事物看成一个整体，就构成了一个集合.比如某个班级的学生、机房中的所有计算机、自然数的全体、线段上的点等，都分别构成了一个集合，通常可以用大写字母A，B，C，D来表示集合.集合中的事物可称为元素或者成员，通常用小写字母a，b，x，y等来表示.如果a是集合A的一个元素，记为a∈Aa∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的一个元素，记为a∉Aa∉A，读作“a不属于A”.某一元素a，对一特定集合A而言，或者a属于A，或者a不属于A，两种情况只能是其中的一种，不可兼得。

集合的表示

枚举法:这种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，在最外面用花括号将所有的元素括起来。如：A=a，b，c，x，y，zA={a，b，c，x，y，z}；B=1，2，3，4，5，…，50B={1，2，3，4，5，…，50}。集合A由元素a，b，c，x，y，z组成；集合B代表1～50的整数集合，在能够清晰表示出集合元素的情况下，可以使用省略号。

描述法:用集合中元素的性质描述集合。可以由文字进行描述，也可以由表达式进行描述。例如：C={x∣x是大学生}C=\{x|x是大学生\}；D={x∣x为偶数，x>0}D= \{ x|x为偶数，x>0\}。集合C代表所有大学生的集合，通常用一个字母x表示集合中的一般元素，竖线“|”可以读作“使得”；集合D代表所有大于0的偶数x的集合，逗号“，”可以读作“而且”。以这样方式表示的常用集合符号有：N={x∣x是正整数或0}N=\{x|x是正整数或0\}，即N是自然数集。Z={x∣x是整数}Z=\{x|x是整数\}，即Z是整数集.Q=x∣x是有理数Q={x|x是有理数}，即Q是有理数集。R={x∣x是实数}R=\{x|x是实数\}，即R是实数集。不含任何元素的集合，称为空集，通常写成∅∅；有时把讨论的所有元素归为一个集合，即全集，用字母UU表示。

图示法:集合与集合之间的关系以及一些运算结果可以用文氏图（Venn Diagram）给予直观的表示。一般用一个矩形代表全集UU，其他集合用位于矩形内的圆来表示，不同的圆代表不同的集合，运算结果一般用阴影部分或者斜线来表示。

image.png

文氏图形象直观，有利于理解复杂的集合问题，有时为了简便，可以将代表全集的矩形框省略(上图就是省略的)。 带框的就跟下图一样，

image.png

(图片都是百度的图，侵删)

集合和元素之间的关系

集合中的元素一定是彼此不同的，如果一个元素在同一集合内多次出现，则认为是同一元素。例如{a，a，b，c}={a，b，c}\{a，a，b，c\}=\{a，b，c\}。集合中的元素没有先后顺序，例如{a，b，c}={c，b，a}\{a，b，c\}=\{c，b，a\}。元素与集合是一种隶属关系，即属于或者不属于，属于记为∈∈，不属于记为∉∉。例如，A={1，{2，3}，4}A=\{1，\{2，3\}，4\}，这里1∈A1∈A，4∈A4∈A，{2，3}∈A\{2，3\}∈A，但是2∉A2∉A，3∉A3∉A.任何集合都不可以作为它自己的元素，即对任何集合AA，都有A∉AA∉A。

集合和集合之间的关系

集合之间的关系，有以下几种：

  1. 包含：集合B包含集合A,记为
  2. 相等：集合A与集合B相等
  3. 互斥：集合A与集合B互斥或互不相容
  4. 对立：集合A与集合B对立或互逆

（1）包含

在一个随机现象中有两个事件A与B。若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，这时事件A的发生必导致事件B发生。

记为“A包含于B”：A⊆B；(有个小技巧，口对着哪边，哪边大)

image.png

如果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记为B⊂A，可以读作B真包含于A。

A如果不包含于B为:A⊈B。

（2）相等

在一个随机现象中有两个事件A与B。若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等,记为A=B。 如果A,B不相等，记为:A≠B。

image.png

（3）互斥

在一个随机现象中有两个事件A与B。若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生。A∩B=Ф。

image.png （4）对立

若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A和事件B必有一个且仅有一个发生A∩B=Ф，A∪B = U对于给定的集合，可以通过集合的并、交、补等运算，产生新的集合.定义4-6　设A，B是任意两个集合，由所有属于A的元素和所有属于B的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为A∪B，∪为并运算符.定义4-7　设A，B是任意两个集合，由既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A和B的交集，记为A∩B，∩为交运算符.定义4-8　设A，B是任意两个集合，由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B对于A的相对补集，记为A-B.定义4-9　设A是任意集合，A对于全集U的相对补集，称为A的绝对补集，记为～A.。

image.png

(5) 空集

不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

(6) 幂集

设A为集合，把A的全体子集构成的集合称为A的幂集，记为P（A），可以表示为P（A）={x|x⊆A}。

假设A={a，b，c}，A的子集可以分为以下几类：

  • 0元子集，即元素个数为0，有1个，∅。
  • 1元子集，即元素个数为1，有3个，分别是{a}，{b}，{c}。
  • 2元子集，即元素个数为2，有3个，分别是{a，b}，{b，c}，{c，a}。
  • 3元子集，即元素个数为3，有1个，{a，b，c}，就是A本身。

A的幂集P（A）={∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{c，a}，{a，b，c}}。

一般来说，对于n元集合A，它的0元子集有Cn0C_{n}^{0}个，1元子集有Cn1C_{n}^{1}个，…，m元子集有CnmC_{n}^{m}个，n元子集有CnnC_{n}^{n}个.所以，子集总数为Cn0+Cn1+...Cnn=2n C_{n}^{0}+ C_{n}^{1}+... C_{n}^{n} = 2^n个.如果集合A有n个元素，则集合P（A）中有2n2^n个元素。

集合的运算

对于给定的集合，可以通过集合的并、交、补等运算，产生新的集合。

设A，B是任意两个集合，由所有属于A的元素和所有属于B的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为A∪B，∪为并运算符。

设A，B是任意两个集合，由既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A和B的交集，记为A∩B，∩为交运算符。

设A，B是任意两个集合，由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B对于A的相对补集，记为A-B。

设A是任意集合，A对于全集U的相对补集，称为A的绝对补集，记为～A。

设A，B为任意两个集合，由所有属于A或者属于B，但是不同时属于A和B的元素组成的集合称为A与B的对称差集合，记为A⊕BA ⊕ B。（也叫异或)

假设A，B，C为任意集合，U为全集，则以下公式成立。

（1）幂等律　A∩A=A，A∪A=A；

（2）结合律　（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；　　（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；

（3）交换律　A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；

（4）同一律　A∩U=A，A∪∅=A；

（5）零律　A∩∅=∅，A∪U=U；

（6）分配律　A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），　　A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；

（7）吸收律　A∪（B∩A）=A，A∩（B∪A）=A；

（8）双重否定律　～（～A）=A，　　～∅=U，　　～U=∅；

（9）排中律　A∪～A=U；

（10）矛盾律　A∩～A=∅；

（11）德.摩根律　A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C），　　A-（B∩C）=（A-B）∪（A-C），　　～（A∪B）=～A∩～B，　　～（A∩B）=～A∪～B；

（12）补交转换律　A-B=A∩（～B）。

集合的计数

集合中的元素可能是有限的或者无穷的。如果一个集合中仅含有有限个相异的元素，则称该集合是有限的；否则称该集合是无穷的。空集∅也是有限集合。

集合A中元素的个数，称为集合A的基数，记为|A|或者Card A。

容斥原理又称包含排除原理，指在计算有公共元素的多个有限集合的元素个数时，先累加各集合的基数，再减去重复计算的部分。例如:

  • 设A，B是任意两个有限集合，则|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。

  • 设有限全集为U，A和B是任意有限集合，则|～A∩～B|=|U|-（|A|+|B|）+|A∩B|。

  • 设U为有限全集，A，B，C是三个任意有限集合，则　　|～A∩～B∩～C|　　=|U|-（|A|+|B|+|C|）+（|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|）-|A∩B∩C|。

（鸽笼原理）若有n+1只鸽子住进n个鸽子笼，则至少有一个鸽子笼住进两只或者两只以上鸽子。

可以得到如下引论:

  • 如果把n+1个对象放入n个盒子，那么至少有一个盒子里放入两个或两个以上对象。
  • 如果把m个对象放入n个盒子里，那么有一个盒子至少放入⌊m−1n⌋+1\lfloor\frac{m-1}{n}\rfloor + 1个对象。
  • 如果把n（q-1）+1个对象放入n个盒子里，那么至少有一个盒子放入q个或多于q个对象。
  • 如果n个自然数q1，q2，…，qn的算术平均值（q1+q2+…+qn）/n大于q-1，那么q1，q2，…，qn中至少有一个大于或等于q。

数组集合和链表集合

数组集合:

特点：

  • 查询和修改快（内存地址是相连的）
  • 增加和删除慢(牵一发而动全身）

原因：

  • 查询和修改时直接通过数组的下标就能快速定位到相应的位置。
  • 数组里面内存地址是连续的，如果要做增加或者删除时势必要修改长度，这样可能会导致牵一发而动全身的操作，比如在下标是2位置上的元素进行删除，那么后面每个位置上面的元素都会向前移动。
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
class seq_set{
private:
vector<int> seq;
int size;
bool num_already_set(int num){
	for(int i = 0;i < size;i++){
		if(num == seq[i]) return false;
	}
	return true;
}
public:
seq_set(vector<int> num){
	size = 0;
	for(int n:num){
		if(num_already_set(n)) seq.push_back(n),size++;
	}
}
bool seq_delete(int num){
	if(num_already_set(num)) return false;
	int index = 0;
	while(num != seq[index]) index++;
	for(int i = index;i < size;i++){
		seq[i] = seq[i + 1];
	}
	size--;
	return true;
}
bool seq_add(int num){
	if(!num_already_set(num)) return false;
	seq.push_back(num);size++;
	return true;
}
void seq_print(){
	for(int i = 0;i < size;i++){cout<<seq[i];}
}
};
int main() {
	vector<int> num = {2,5,3,5,0,1};
	seq_set set(num);
	set.seq_add(9);
	set.seq_delete(3);
	set.seq_print();
	return 0;
}

链表集合:

特点：

  • 增加和删除快
  • 查询和修改慢

原因：

  • 链表里面的内存地址不是连续的，每个元素里面都保留着上一个元素和下一个元素的内存地址（首尾除外），如果要增加或删除元素时，只有与他相邻的两个位置上的元素发生变化，其他元素不用任何改变。
  • 链表里面的内存地址不是连续的，要查找的话，需要从头或者尾部挨个查找，不能直接定位。

哈希集合

之前学过哈希表了，就对一些特性不再过多赘述，与之前的哈希表不同，这个哈希集合他不会存储已经存过的数据。就是在哈希表上改一个机制，相同的元素只能留一个。

参考

[1] <<离散数学>>,邹丽娜 丁茜 罗旭

[2] 集合和集合之间的关系,木子心原

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