用单位脉冲表示LTI

离散

重新审视离散信号：一系列移位脉冲信号的线性组合，权重就是原信号（筛选性质）

$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$

这个变形可以充分利用线性系统的便利，因为线性系统的叠加性，我们把输入信号拆解成了一系列脉冲信号的组合，所以只要知道系统对脉冲信号的响应，就可以知道所有离散输入的响应。$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h_k[n]$，其中$h_k[n]$表示对$\delta[n-k]$的响应。

更进一步，如果系统是时不变的，那$h_k[n]=h_0[n-k] \equiv h[n-k]$。因此，系统的输出可以写作$y[n] = \sum_{k=\infty}^{-\infty}x[k]h[n-k]$

上面的式子就是卷积和，也可以表示为$y[n] = x[n] * h[n]$

求解过程有两种视角

• 1 固定n，移动k，然后求和。每次求和只能算出一项
• 2 固定k，移动n，看作是k个$h[n-k]$在一起随着n移动，然后和$x[k]$做乘法，每次的结果暂存累计，形成$y[n]$

连续

本质：$x(t)=\lim_{\Delta\rightarrow 0} \sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\Delta$ $x(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

对于LTI系统，可以对响应信号表述为$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau) d\tau$

性质：设$A_x = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)dt$，又有$y(t)=x(t)*h(t)$，则$A_y=A_xA_h$

用单位脉冲表示LTI的性质

• 交换律：$x[n] * h[n] = h[n] * x[n], x(t) * h(t) = h(t) * x(t)$，换元即可证
• 分配律：$x[n] * (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] * h_1[n] + x[n] * h_2[n]$
• 结合律：$x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) = (x[n] * h_1[n]) * h_2[n]$
• 无记忆性：有了h函数可以更好的认识，发现只有$h[n] / h(t)$在n / t以外的位置都是0才是无记忆的
• 可逆性：对于$h(t)$，存在一个$h'(t)$，st$h(t) * h'(t) = \delta(t)$，则可逆。比如一个系统$y(t)=x(t-t_0)$，这是一个移位系统，那么可以写为$y(t)=x(t)*\delta(t-t_0)$，这样$h(t)=\delta(t-t_0), h'(t)=\delta(t+t_0)$，可逆。
• 因果性：因果性意味着$y[n]$只和n及以前的x有关，通过卷积求和的公式可以看到，这要求$h[n-k]$在$k\ge n$的位置都为0.
• 稳定性：输入有界则输出必有界，这要求$\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]| < \infty$

注意也可以用单位阶跃表示LTI，因为$s[n] = h[n] * u[n]$，所以

用微分、差分方程描述

• 连续：$\frac{dy(t)}{dt} + by(t) = a x(t)$
• 离散：$y[n] + ay[n - 1] = cx[n]$

如何求解？

注意求解微分方程一般是猜出他的形式（特解 + 齐次解）。

• 特解：一般是一个$Ae^{Kt}$的形式，带进去求。
• 齐次解：采用受迫响应，即只有系数和$x(t)$不一样的信号，然后齐次说明rhs是0.
• 利用初始松弛条件确定系数：上面解完不唯一，为了进一步确定需要额外的条件，最常用的是初始松弛条件。即如果存在一个$t_0$，当$t<t_0$时，$x(t)=0$，那么$t < t_0$时，$y(t)$也为0。

差分方程转换为电路图

考虑$y[n] + ay[n- 1] = bx[n]$, 那么可以考虑3个基本操作：加法、乘常数、delay（对应存储单元）

微分方程转换为电路图

一个很类似的替换是把delay换成求导运算，但微分器设计很复杂，但积分器很好设计，所以应该改一下。

$\frac{dy(t)}{dt} + ay(t) = bx(t)$，两侧积分 $\int_{-\infty}^t\frac{dy(\tau)}{d\tau} d\tau = \int_{-\infty}^t (bx(\tau) - ay(\tau)) d\tau$，电路如下

单位脉冲再讨论

从卷积看单位脉冲

从卷积这里，若令$g(-t)=g(-t)*\delta(t)$（不要忘了单位冲激和自身卷机是恒等的），取t为0，可以得到$g(0) = \int_{-\infty}^\infty g(\tau-t)\delta(\tau) d\tau$。在0处的取值刚好就是脉冲位置的值。由此可以得到一个常用的变形:$f(t)\delta(t) = f(0) \delta(t)$

单位脉冲的微分：冲击偶

接下来研究单位脉冲的导数，考虑一个系统输出对输入信号的导数$y(t)=dx(t)/dt$，显然这是一个LTI系统，所以可以研究对单位脉冲的响应。

$y(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d(x(t)*\delta(t))}{dt} = \frac{d(\delta(t) * x(t))}{dt} = \frac{d(\int_{-\infty}^\infty \delta(t-\tau) x(\tau) d\tau)}{dt} = \int_{-\infty}^\infty \frac{d(\delta(t-\tau))}{dt} x(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^\infty \frac{d(\delta(t-\tau))}{d(t-\tau)} x(\tau) d\tau$，另$u_1(t)=\delta'(t)$，则$y(t) = \frac{dx(t)}{dt}=x(t) * u_1(t)$，所以对单位脉冲的响应为$u_1(t)$。

他的形状长这样：

这个和导数的定义一致，就是取两个很相近的点，求差再除以宽度。

如果求二阶导，那么可以看成$d^{(2)}x(t)/dt^2=d(x(t) * u_1(t))/dt=x(t) * u_1(t) * u_1(t)$，最后一步把$x(t)*u_1(t)$看成一个整体。因此$\delta(t)$的二阶导$u_2(t)=u_1(t)*u(1)t$。

用数学方法，研究这个函数的性质。另$x(t)=1$为常信号，那么输出为0，说明$u_1(t)$的面积为0。

再次运用$g(-t)$的技巧，可以得到$g'(0) = -\int_{-\infty}^\infty g(\tau)u_1(\tau)d\tau$

单位脉冲的积分

• 一重积分：对于$y(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau$，可得$y(t)=x(t)*u(t)$，说明对单位脉冲的积分响应是阶跃函数。
• 二重积分：$u_{-2}(t)=u(t)*u(t)=tu(t)$ 和relu很像。
• k重积分：$u_{-k}(t)=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}u(t)$

统一视角

如果令$u(t)=u_{-1}(t), \delta(t)=u_0(t)$，而求导运算角标+1，积分运算角标-1，那可以统一前面的讨论。并且，$u_k(t)*u_l(t)=u_{k+1}(t)$