【Atcoder】AtCoder Grand Contest 059 B - Arrange Your Balls | 图论、构造

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B - Arrange Your Balls (atcoder.jp)

题目

题目大意

有 $n$ 个球，第 $i(1\le i \le n)$ 个球的颜色是 $c_i$。把 $n$ 个球排成一个环，如果相邻两个球的颜色不同，那么他们将会构成一个二元组 $(c_x,c_y)$，最小化二元组的种类数，输出排列方案。

$(1,2)$ 和 $(2,1)$ 属于一个种类。

思路

假设有 $m$ 种不同的颜色。

容易想到可以把所有颜色相同的球放在一起，将所有球排成一个环。则每种颜色都会参与两个二元组的形成，答案为 $m$。

是否存在更小的答案呢？

想象我们构建一棵有 $m$ 个节点的树，每个节点代表一种颜色，我们对这棵树进行 DFS，每经过一条树边，我们就输出边指向的点的颜色。这样每个二元组都会与一条树边进行对应。

观察示例我们发现，用建树的方法来构建环时，树边一共被经过 $2\times m-2$ 次，且每种颜色的的球至少出现了度数次。（如果建出的树某点的度数小于对应颜色球的数量，只需要连续输出多次即可。）

具体来说，令 $cnt[i]$ 表示第 $i(1\le i\le m)$ 种颜色的球的个数，只有在满足条件

时，才能建出树来。

怎么建树呢？首先将所有点都压进待合并的集合 $S$ 中，进行 $n-1$ 次下述操作：

• 找到 $S$ 中度数最小的点 $v$。
• 找到 $S$ 另一点 $u$，满足：若 $S$ 中点的数量大于 $2$，$u$ 的度数应大于 $1$。
• 在 $u$ 到 $v$ 之间建边。
• 将点 $u$ 的度数减小 $1$。
• 从集合 $S$ 中删除点 $v$。

建出树后我们对树进行一遍 DFS，输出答案即可。

代码

#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=200001;
int n,m,k,tot;
using LL=long long;
int a[N],cnt[N];
vector<int> e[N];
struct asdf{
	int col,num;
	bool operator < (const asdf a) const
	{
		return num<a.num;
	}
}q[N];
void dfs(int u,int fa)
{
	for (auto v:e[u])
	{
		if (v==fa) continue;
		printf("%d ",v);
		cnt[v]--;
		dfs(v,u);
		printf("%d ",u);
		cnt[u]--;
	}
	while (cnt[u]--) printf("%d ",u);
}
void solve()
{
	m=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) cnt[i]=0,e[i].clear();
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),cnt[a[i]]++;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (cnt[i]) q[++m]={i,cnt[i]};
	LL sum=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) sum+=min(m-1,cnt[i]);
	if (sum<2*m-2)
	{
		sort(a+1,a+1+n);
		for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",a[i]);
		printf("\n");
		return;
	}
	sort(q+1,q+1+m);
	int t=1;
	while (q[t].num==1) t++;
	for (int i=1;i<m;++i)
	{
		if (i==t) t++;
		e[q[i].col].push_back(q[t].col);
		e[q[t].col].push_back(q[i].col);
		q[t].num--;
		if (q[t].num==1&&t!=m) t++;
	}
	dfs(q[m].col,0);
	printf("\n");
}
int main()
{
	int T;
	for (scanf("%d",&T);T--;) solve();
	return 0;
}