解2022年408考研真题第1题

2022年408考研真题第1题，考察了时间复杂度的计算方法。题目内容如下：

下列程序段的时间复杂度是（ ）。

sum = 0;
for (i = 1; i < n; i *= 2) 
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

A. $O(\log{n})$ B. $O(n)$ C. $O(n\log{n})$ D. $O(n^2)$

对于这个题目，一种比较简单的解法是设 $n$ 为 $2$ 的倍数，即找一个特例，如令 $n=2^m$ ，则 $m=\log_2n$ 。从而确定基本语句 sum++ 的频度。

这种求解方法，能够得到正确答案，但仅仅停留在解决本题的应试技巧上，如果题目的条件更换了，外层循环不再是 i *= 2 ，就不能以 $2$ 的倍数特例了。更何况，我认为，在复习阶段，应该尽可能掌握最基本的方法，而不是将重点放在某些技巧上，因为技巧都是针对特殊现象的，只有基本方法才具有普遍适用性。掌握了基本方法，就不用担心试题的变化了；掌握了基本方法，试题再变化，也是“万变不离其宗”。

那么，针对这个题目，从基本方法角度出发，应该如何求解？

在网上，也能搜索到试图通过基本方法求解的文章（例如某乎网站），很可惜，该文章求解过程的计算有错误，且阐述语焉不详，思路跳跃。

下面，本文尝试给出一种方法，请大家欣赏，如果其中有误，敬请指正。

根据分析时间复杂度的方法，解题步骤如下：

第一步：基本语句是 sum++ 。

第二步：基本语句处于嵌套循环中，内层循环与外层循环的变量相关，用下表列出外层循环和内层循环变量及基本语句循环次数（即内层循环次数）

外层循环（第 r 次）	变量 i 的值	变量 j 的值	基本语句循环次数
1	$1=2^0$	$0$	$1=2^0$
2	$2\times2^0=2^1$	$0,1$	$2=2^1$
3	$2\times2^1=2^2$	$0,1,2,3$	$4=2^2$
4	$2\times2^2=2^3$	$0,1,2,3,4,5,6,7$	$8=2^3$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
r	$2^{r-1}$	$0,1,\cdots,2^{r-1}-1$	$2^{r-1}$

因为 i < n ， 即 $2^{r-1}\lt n$ ，所以 $r\lt\log_2n+1$ 。

又因为 $r$ 是非负整数，所以 $r=\lfloor\log_2n+1\rfloor=\lfloor\log_2n\rfloor+1$ （向下取整）。

第三步：基本语句频度。由上表可知，基本语句频度为：

又因为 $r=\lfloor\log_2n\rfloor+1$ ，所以：

第四步：得到时间复杂度：$T(n)=O(n)$

本题答案：B

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