注：每一小节的“来源”注明了该小节的内容出处，大部分是论文，小部分出自图书。

k-core

定义

k-core是一个极大子图，图中每个顶点的度数$\geq k$

性质

(1) k-core的划分是唯一的

(2) 每个顶点有唯一的core-number，代表包含该顶点的最大core

(3) k+1-core一定是k-core的子图

算法

Peeling算法

一、来源：Cohesive Subgraph Computation over Large Sparse Graphs 3.2.1节

二、功能：计算出每个顶点的core-number，从而达到core划分的目的。

三、原理：维护一个“当前core-number”，设为max_core。每次循环找到当前图中度最小的点u，如果u的度数小于或等于max_core，则u的core-number就是max_core，否则设置max_core为u的度数。更新完u的core-number后将u从图中删去，并更新u的邻居的度数，然后重复循环直到图中所有的顶点都被删除。

线性堆优化的Peeling算法

一、来源：Cohesive Subgraph Computation over Large Sparse Graphs 2.1节

二、原理：Peeling算法中需要不断找到度最小的元素，并将它删去，这个本可以用小根堆实现，但删除元素的同时会改变其他元素的大小，因此普通的小根堆就无法实现了，需要用到线性堆。

这本书中提到的线性堆其实就是一个keys为所有可能度——即0到N——的哈希表，解决冲突的方式是链表。下面两图展示了一个无向图和构造对应线性堆的一个例子。

线性堆的操作包括插入、删除、单个元素修改、查询最小元素，需要维护max_key和min_key表示当前最大和最小的键值，上图中max_key=4，min_key=1。

(1) 插入（类似链表的插入，插入在对应键值的头部）：

(2) 删除（类似链表的删除）：

(3) 单个元素的键值修改：

其实是分两步进行，先把该元素在哈希链表中删除，然后将更新键值的元素再插入到哈希链表中。

(4) 查询最小元素并删除它：

首先要更新min_key，找到min_key后在min_key对应的链表中随便选一个元素都是最小元素，这里直接选取了表头。

结合线性堆，Peeling Algorithm的时间复杂度可以降到$O(|E|)$。

针对特定的k求解k-core的算法

一、来源：Cohesive Subgraph Computation over Large Sparse Graphs 3.2.2节

二、原理：由于只需要计算特定的k——而不是所有可能的k——对应的k-core，因此可以不用线性堆而是BFS的方法求解。构造一个队列Q，初始时队列中存放所有度小于k的顶点（顺序无所谓），然后做BFS，终止条件是Q为空，每次弹出Q队首元素u并将它从队列中删去，同时将u的邻居度数-1，并判断该邻居更新后的度数是否小于k，如果小于k则把它加入队尾。

Core Hierarchy Tree

一、来源：Cohesive Subgraph Computation over Large Sparse Graphs 3.2.3节

二、功能：k-core的划分并没有考虑连通性信息，即对于任意k、k-core都有可能是不连通的，core hierarchy tree可以快速找到k-core的每个连通分量

三、原理：

由于k+1-core必定被包含在k-core中，所以k+1-core的各个连通分量也一定是某个k-core的子图。

基于这个特点，可以构造一棵Core Hierarchy Tree。对于Tree中的任意子树，这棵子树表示某个连通的k-core，子树的根节点是一个set、该集合包含了所有该连通k-core中core-number恰好为k的顶点，这个根节点有若干个儿子节点，每个儿子节点又是一棵子树的根节点、每棵子树分别是该连通k-core中的每个连通的k+1-core……以此类推可以看出Core Hierarchy Tree的全貌：

构造Core Hierarchy Tree需要用到并查集，在构造之前需要用前文提到的Peeling Algorithm先计算出每个顶点的core-number。然后根据Peeling Algorithm中访问顶点顺序的逆序来构造新树，具体方法见下图（其实就是并查集的构造过程）

计算k-core的分布式算法

一、来源：Parallel and Streaming Algorithms for K-Core Decomposition

二、功能：用分布式并行算法计算k-core，但不能保证准确性（准确率用概率描述、近似算法）

三、原理：

(1) Approximate k-core

$1-\varepsilon$ approximate k-core：设某个子图$H$满足$\forall v\in H, d_H(v)\geq (1-\varepsilon)k$，则$H$是一个$1-\varepsilon$ approximate k-core

$1-\varepsilon$ approximate core-labeling：类似于core-number，每个顶点会被标记一个数字，这个数字称为$1-\varepsilon$ approximate core-labeling，它的数值是顶点真实的core-number和真实core-number乘以$1/(1-\varepsilon)$之间的任意一个数

(2) 采样图：对每条边赋予一个概率，由概率决定这条边是否被选取，这种通过概率构造出的子图$H$就是采样图

(3) 近似算法基本原理：如果在子图$G'$中顶点v的core-number大于某个数值$l$，则可认为v在原图$G$中core-number为$L$。

四、算法步骤：

step1：以p为采样概率构造一个采样图$H$

step2：计算$H$中每个顶点在$H$的core-number，根据原理(3)，可以得到一些顶点在原图$G$中的core-number

step3：将step2中得到原图$G$中core-number的顶点删去，然后将采样概率p翻倍，回到step1

分布式并行方法：采样阶段，将原图划分为若干部分，每个部分交给一个处理器进行采样。计算符合原理(3)在子图中core-number高的顶点在原图中的core-number时采用集中式处理，具体见下图，

Colorful Star k-core

一、来源：Colorful h-star Core Decomposition

二、功能：定义了一种全新的core结构，即“colorful h-star core”，并给出了在无向图中划分这种core结构的方法。

在定义colorful h-star core之前，首先要给出两个前置定义：

(1) linear time greedy colorful algorithm

将所有顶点按度的降序排列，然后依次尽可能小编号的颜色染色，每次染色要保证和相邻的已经染色顶点颜色不相同。

举例

(2) h-star

在使用线性贪心染色算法的前提下，由一个中心节点连接h-1个其他节点的结构（这h个节点都有不同的颜色）称为h-star

举例

下面给出colorful h-star k-core的定义

(3) colorful h-star k-core

一个$G$的极大子图$G'$，满足$G'$中每个顶点都在k个h-star中

三、原理&算法步骤：

设Group(i)={$v\in N_G(v)$,color(v)=i}，cnt(i)=|Group(i)|

DP(i,j)表示从前i个Group中选择j个不同颜色节点的方案数

(1) 计算单个节点的DP值

显然这是一个01背包问题

既然是01背包，就可以进行空间压缩，只用一维数组来做，只需要内层j的循环从大到小即可

(2) 某个节点删除时，更新其他节点的DP值

由于图可能会动态更新（即增加或删除节点），因此要考虑在更新时如何维护节点的DP值。在删除某个节点v时，cnt(color(v))会随之减小，因此它只会影响等式(1)中前半式（"+"前的部分）代表的情况、即“选择color(i)”，而不会影响等式(2)中后半式代表的情况、即“不选择color(i)”。令F(i)和G(i)分别代表这两者的方案数，则有：

根据这一思路，可以得到具体算法：

在Counting阶段，可以认为被删的节点始终是颜色1(Line11)，但在Updating阶段，被删的节点颜色是确定的color(v)(Line17)。

(3) colorful h-star k-core decomposition

Counting算法计算了每个节点的“彩色”度、即每个顶点被包含在几个h-star中。

Updating算法计算了删除某个节点后它的邻居的彩色度变化情况。

基于这两个算法、以及计算k-core的Peeling算法，可以得到colorful h-star k-core decomposition算法：

k-VCC

定义

k-Vertex Connect Component，指的是无向图G中的极大子图G'，G'至少要删去k个顶点才能使G'变得不连通。

举例：下图中的$G_1,G_2,G_3,G_4$都是4-VCC，因为它们都是至少删除4个顶点才会变得不连通

性质

以下性质皆来源于论文：Enumerating k-Vertex Connected Components in Large Graphs

（1）度小于k的顶点一定不在k-VCC中，因为删除它的所有邻居就能使得图变得不连通。由此可见k-VCC一定是k-core的子图。

（2）划分k-VCC的基本思路：不断找当前子图G'中小于k的割，将G'分为若干个子图，再在每个子图中继续找小于k的割并划分，直到划分出的子图不存在小于k的割，则每个子图都是一个k-VCC。以找4-VCC举例：

基本思路算法化：

（3）Sparse Certificate

定理：无向图$G$是k-VCC当且仅当$G$的Sparse Certificate是k-VCC

生成$G$的Sparse Certificate方式如下：令$G_0=G$，然后总共进行k轮操作，第i轮操作在$G_{i-1}$上进行BFS，生成的搜索树记作$F_i$，则$G_i=(V,E(G_{i-1})-E(F_i))$。最后$F_1\cup F_2\cup ... F_k$就是$G$的Sparse Certificate。

举例

（4）找无向图中最小割的基本思路：任选一个源点u，一般选度最小的点，设最小割为$S$，可以分两种情况讨论：

Case1：$u\notin S$，计算u和其他所有顶点之间的最小割。

Case2：$u\in S$，计算u的邻居之间的最小割。

具体算法如下；

算法

中心式的优化算法

一、来源：Enumerating k-Vertex Connected Components in Large Graphs

二、功能：高效找到无向图中所有的k-VCC

三、原理

（1） Neighbor Sweep 1

定义side-vertex，不存在一个小于k的割集S使得$u\in S$

用$a\equiv b$表示a和b之间有至少k条顶点不相交路径

关于side-vertex的三条性质：1.如果$a\equiv b,b\equiv c$且b是side-vertex，则$a\equiv b$，2.如果u的任意两个邻居v,v'满足$|N(v)\cap N(v')|\geq k$，则u一定是side-vertex且被称为strong side-vertex，3.如果$(v,w)\in E$，则一定有$v\equiv w$

根据以上3条性质可以得出优化策略：设u是源点，如果v满足1.$u\equiv v$，2.v是strong side-vertex，3.w是v的邻居。则w和u之间一定不存在小于k的割集

（2）Neighbor Sweep 2

设$G_i$是G被割集S分割后的子图之一，则有以下两条性质：1.如果u在$G_i$中是strong side-vertex，则u在G中一定是strong side-vertex（它的逆否命题很有用），2.如果u在G中是strong side-vertex，且$N(u)\cap S=\emptyset$，则u在$G_i$中仍是strong side-vertex

基于这两条性质，在$G_i$中判断顶点是否是strong side-vertex时，只需要判断同时满足1.在G中是strong side-vertex、2.$N(u)\cap S\neq \emptyset$的点。因为不满足这二者任一的点在$G_i$中一定不是strong side-vertex

（3）Neighbor Sweep 3

定理：设u是源点，如果v的邻居中有至少k个点满足$u\equiv w$，则有$u\equiv v$

定义：deposit(v)表示v的邻居中满足$u\equiv w$的顶点个数。

由此得到优化策略：给定源点u，如果顶点v满足deposit(v)>=k，则v和u之间不存在小于k的割

（4）Group Sweep

定义side-group：如果cc中任意两点u,v都满足$u\equiv v$，则cc是一个side-group。显然给定源点u后，如果$u\equiv v$，则和v同属一个cc的顶点必定和u之间不存在小于k的割集。

定理：构造sparse certificate时的bfs树$F_k$是cc

定义1：$u\equiv cc$，u与cc中任意顶点w满足$u\equiv w$。如果u与cc中至少k个顶点满足$u\equiv w$，则有$u\equiv cc$。

定义2：g-deposit(cc)，cc中与源点u满足$u\equiv w$的顶点w个数。g-deposit(cc)是一个动态更新的值，每当一个顶点v被判定为$u\equiv v$，就给v所在的cc更新g-deposit(cc)=g-deposit(cc)+1。

基于以上性质可得优化策略：给定源点u，如果g-deposit(cc)>=k，则cc中所有顶点和u之间都不存在小于k的割。

此外还有一个简单优化：设u是源点，如果u的两个邻居$v_a,v_b$同属一个cc，则$v_a$和$v_b$之间不存小于k的割集

综合以上四条优化策略，可以得到综合后的算法：

分布式与中心式结合的k-VCC算法

一、来源：Towards k-vertex connected component discovery from large networks

二、功能：分布式的算法有很多优点，但完全用分布式算法找到图中的k-VCC比较困难，因此这篇文章提出了一个分布式和中心式结合的找出k-VCC的方法

三、算法步骤

STEP2：expand和merge种子图

（1）expanding

设G[S]是一个k-点联通子图，如果u和G[S]中至少k个顶点相连，则u可以加入到S中形成一个更大的k-点联通子图

（2）merging

设G[S]和G[S']都是k-点联通子图，如果$|S\cap S'|+min\{|N_{S'\S}(S\S')|,|N_{S\S'}(S'\S)|\}\geq k$，则G[$S\cup S'$]也是k-点联通子图

扩展后的种子图成为k-VCC的条件：设G[S]是一个k-点联通子图，如果G[S]满足1.不存在顶点v，v与S中至少k+1个顶点相连、2.min{$|\delta_S|,|\delta_{G-S}|$}<k（$\delta_S$表示S中在G-S中有邻居的顶点），则G[S]是一个k-VCC。

基于expanding和merging可以扩展种子图：

STEP3：继续合并扩展后的种子图

k-truss

定义

给定无向图$G$，k-truss是指$G$的极大子图$G'$，$G'$中的每一条边都满足边的两个端点有至少k-2个公共邻居

(k,h)-truss：和k-truss定义基本相同，只是将“公共邻居”改为“h跳公共邻居”

性质

(k,h)-truss和k-core有一些类似的性质

(1) (k,h)truss的划分是唯一的。

(2) 给定h后，数值大的(k,h)-truss一定是数值小的(k,h)-truss的子图

算法

(k,h)-truss划分算法

一、来源：Higher-Order Truss Decomposition in Graphs

二、功能：给定无向图，类似k-core划分一样对无向图进行(k,h)-truss划分。普通k-truss划分相当于h=1的特殊情况

三、具体算法

$\phi_\tau(e,G)$表示边e的truss-number，即包含边e的k值最大的(k,$\tau$)-truss

最简单算法（无优化）：

(1) 优化思路一：延迟更新

（2）优化思路二：提前剪枝

对于$e=(u,v)$，如果$d_h(u)\leq k-1$且$d_h(v)\leq k-1$，则必有$\phi(e)\leq k$。基于这个性质，在处理某条边时、可以计算它两个端点的h-hop degree，处理某个顶点时、如果$d_h(v)\leq k-1$则与其相连的边在处理(k,h)-truss时可以跳过。

（3）优化思路三：Unchanged Support Dedection

结合优化思路后的算法：

k-clique

定义

团 clique（clique）是一个无向图（undirected graph ）的子图，该子图中任意两个顶点之间均存在一条边。

极大团 maximal clique是一个团，该团不能被更大的团所包含，换句话说，再也不存在一个点与该团中的任意顶点之间存在一条边。

团的大小 size是指一个团中包含的顶点数，size=k的团，称为k-clique。

1-团有23个（点），2团有42个（边），3-团有19个（浅蓝色和深蓝色），4-团有2个（深蓝色），极大团有18个（11个3-团、2个4-团和5个2-团），最大团2个（深蓝色4-团）。

算法

最大团算法

一、来源：Parallel Maximum Clique Algorithms with Applications to Network Analysis and Storage

二、功能：找出一个无向图的一个最大团

三、原理：

(1) 设无向图G中最大团的大小（顶点个数）为w(G)，G中度数最大的顶点度为D(G)，最大的core-number为K(G)，用贪心算法染色需要的颜色数为L(G)，则必有

(2) 最大团一定被包含在某个顶点的邻域图中（v的邻域图指v和它的邻居们构成的导出子图）

(3) 在任意顶点v的邻域图$G_V$中，依然有

四、算法思路：

(1) 暴力求解-对每个顶点v，构造v的邻域图$G_v$，在$G_v$中找到最大团$C_v$，在所有的$C_v$中找出最大的，就是G的最大团。

(2) 在求邻域图$G_v$中的最大团时，并不是直接找到最优解，而是用启发式算法找到一个启发式的解$H_v$。具体方法是维护一个团$H_v$，初始是空集，然后按core-number的降序不断尝试向$H_v$中添加顶点，具体见下图：

这其中加入了优化：设当前最优解为$H$，如果顶点$u$的core-number小于$|H|$，那么$u$一定不可能被包含在最优解中。

Algorithm1会得到一个启发式的解$H$，根据这个解再去精确地求每个顶点邻域图中的最大团。算法地主干部分是这样的：先根据上一段中的优化删掉一些肯定不会被包含在最优解中的点，然后每次循环求当前图中度最小的点的邻域图，在一个顶点计算完成后将其标记而不是立即删去，在处理了一定数量的顶点后再批量地将顶点从图中删去（Line9）。具体可见下图，

INITIALBRANCH(u)是计算顶点u的邻域图中最大团的具体过程，这里用到了原理(3)中的三个限制条件，在判断出当前顶点u不可能被最优解包含时立即退出(Line13, Line16, Line19)，如果三次检验都通过、即当前顶点u的邻域图中可能包含更优的解，则调用BRANCH具体计算u的邻域图中最大团，在调用时删除了一些必定不可能被包含在最优解中的点。具体算法见下图，

BRANCH(C,P)是计算某个顶点邻域图中的最大团，C是当前解，P是候选集，由于程序采用了递归的方式(Line29)并在循环中搜索了每个顶点(Line23)，因此一定可以找到最优解。之所以比直接暴力求解效率高很多，是因为(1)通过Algorithm1的优化删去了很多顶点(2)通过原理3中的不等式删去了很多顶点。具体算法见下图：

并行方法：

(1) Algorithm1的并行方法很简单，将顶点分配给各个处理器，分别完成各自的工作量即可。

(2) Algorithm2中，首先主程序MAXCLIQUE充当任务分配器，构造一个任务队列和全局广播通道，将顶点分配给各个处理器。在各个处理器处理各自的任务时，每当有一个处理器计算出新的更优解、或删除一个顶点时，则通知其他所有处理器暂停当前的工作。

算法性能：

极大团算法

一、来源：维基百科Bron–Kerbosch algorithm

二、功能：找出无向图中所有的极大团

三、原理：

转自zhuanlan.zhihu.com/p/91398530 ：

关于算法原理，谈一些个人理解。算法开始时，$R$是空集，$P$是顶点集；算法结束时， $R$是最大团， $P$是空集。搜索最大团的过程就是顶点$v$从集合$P$移动到集合$R$的过程。

采用回溯策略的原因是，我们并不知道某个顶点$v$最终是否是最大团中的成员。如果递归算法选择$v$作为最大团的成员时，并没有找到最大团，那么应该回溯，并查找最大团中没有$v$的解。

在递归的过程中，$R$最终要形成一个最大团，$R$的元素就是递归过程中当前找到的最大团的组成元素。$P$是最大团的候选顶点集合，$P$不断地去掉递归完成的顶点$v$，在递归时取只在$N(v)$中的元素，因为最大团中的每个顶点之间是互相连接的，要找到的最大团的下一个顶点，一定是$v$的邻接顶点。类似地，$X$是回溯过程中被放弃的顶点的集合，递归过程中每次也只需关注$N(v)$的部分。

algorithm BronKerbosch1(R, P, X) is
    if P and X are both empty then
        report R as a maximal clique
    for each vertex v in P do
        BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
        P := P \ {v}
        X := X ⋃ {v}

s-bundle

定义

设一个子图$G'$有n'个顶点，对于一个正整数s($1\leq s\leq n'$)，如果$G'$是n'-s连通的，则称$G'$是一个s-bundle

性质

算法

寻找图中最大s-bundle的算法

一、来源：An effective branch-and-bound algorithm for the maximum s-bundle problem

二、原理

三、详细算法

主程序MSB-Rec维护两个集合$S$和$C$，分别表示当前解和候选集。$S^*$表示当前最优解

初始化：调用MSB-Rec(G,s,$\emptyset$,V)，$S^* =\emptyset$。

(3) Bounding算法

在第(1)部分提到，算法的核心思路是不断尝试将候选集$C$中的顶点加入当前解$S$，Bounding算法就是计算$C$中能加入$S$的顶点数量的上界，设这个值为q，如果$|S|+q<|S^* |$，那么就不用详细计算把$C$每个顶点加入$S$后的情况了。

Color-bound：设$G'[C]$最少需要用k种颜色染色，把每种颜色的顶点归于一个集合，令P={$C_1,C_2,...,C_k$}，则$C$中s-bundle顶点个数的上限是$\sum_{i=1}^{k}min\{|C_i|,s\}$

Color-bound具体方法：

step1：初始令k=1

step2：新开一个$C_k$，不断将$C$中和$C_k$中顶点不相邻的点加入$C_k$，直到找不到这样的点。

step3：令$C=C-C_k$，如果C不为空，则令k=k+1并返回step2。如果$C$为空，则根据前文所述的原理得到$C$中s-bundle大小的上界。

degree-bound：简单运用Property 4，给定图G'=S+C，设图$C$中度最大的顶点的度为$\Delta_{G'}(C)$，则G'中s-bundle大小的上界是$\Delta_{G'}(C)+s$

(4) reduction算法

bounding算法是最优性剪枝，reduciton算法则是可行性剪枝

剪枝1：

剪枝2：如果$|N_{G'}(v)|+s<|S^* |$，则v不可能存在于包含S的s-bundle中，寻找大于$|S^* |$的最优解时可以不考虑v

剪枝3：设$v\in C$

综合以上算法基本框架和剪枝，可以得出最终的优化算法：