647. 回文子串 (palindromic substrings)

"回文子串"

647. 回文子串 题目描述：给你一个字符串 $s$ ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。$1 <= s.length <= 1000$

中规中矩的动态规划

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 为字符串 $s$ 在 $[i,j]$ 区间內的子串是否是回文子串，其中 $0 \le i \le j \lt n$，$n = s.length$。

2、确定 dp 状态方程

需要比较 $s[i]$ 与 $s[j]$ 对应的字符是否相等：

当 $s[i] != s[j]$ 时，那么字符串 $s$ 在 $[i,j]$ 区间內的子串 一定不是 回文子串，即 $dp[i][j] = false$；

当 $s[i] == s[j]$ 时，需要比较索引 $i$ 与 $j$：

• 当 $i == j$ 时，代表指向同一个字符（且仅有一个字符），那么字符串 $s$ 在 $[i,j]$ 区间內的子串 一定是 回文子串（单独的字符一定是回文串），即 $dp[i][j]=true$；

• 当 $i = j - 1$ 时，代表索引 $i$ 与 $j$ 指向相邻的字符，那么字符串 $s$ 在 $[i,j]$ 区间內的子串 一定是 回文子串（相邻字符相同，一定也是回文串），即 $dp[i][j]=true$；

• 当 $j - i > 1$ 时，代表索引 $i$ 与 $j$ 之间的元素（不包括 $i$ 与 $j$ 指向的元素）至少有一个，那么此时字符串 $s$ 在 $[i,j]$ 区间內的子串是否是回文子串（$dp[i][j]$），完全取决于字符串 $s$ 在 $[i+1,j-1]$ 区间內的子串是否是回文子串（$dp[i+1][j - 1]$），即 $dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]$。

3、确定 dp 初始状态

声明一个 $n \times n$ 的数组，起始每个元素均为 $false$。

NOTE: 我们不需要初始化 $dp[k][k] = true$，其中 $k \in [0,n)$，因为在状态方程递推关系中会逐一计算的。

4、确定遍历顺序

在状态方程递推关系中，$dp[i][j]$ 依赖了 $dp[i+1][j -1]$ 这个元素，因此遍历 $i$ 时，应 倒序遍历。而遍历 $j$ 时应正序，但要保证 $j \ge i$。

• 外层循环倒序遍历 $i$，即从 $i = n -1$ 到 $i = 0$；

• 内层循环正序遍历 $j$，即从 $j = i$ 到 $j = n - 1$。

举个例子，计算 $dp[0][3]$ 时，可能要判断 $dp[1][2]$，如果是正序遍历，此时并没有计算到 $dp[1][2]$，那么 $dp[1][2]$ 还是初始值 $false$，这样计算的结果一定是错误的。

5、确定最终返回值

返回 $dp$ 数组中为 $true$ 的元素个数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n^2),n是字符串的长度
 * 时间复杂度 O(n^2)
 */
 function countSubstrings(s: string): number {
    const n = s.length;
    const dp = Array.from({ length: n }, () => new Array(n).fill(false));

    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (let j = i; j < n; j++) {
            if (s[i] !== s[j]) continue;

            if (j - i <= 1) {
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }

    return dp.reduce((acc, arr) => acc + arr.filter(Boolean).length, 0);
};

NOTE: 全局记录一个 $res$，初始值为 $0$，当 $dp[i][j] = true$ 时，执行 $res++$，最后返回 $res$，这样就无需再遍历一遍 $dp$ 状态数组来查询值为 $true$ 的元素个数。

参考

# 重识动态规划