264. 丑数 II (ugly number ii)

开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 12 月更文挑战」的第32天，点击查看活动详情

264. 丑数 II 题目描述：给你一个整数 n ，请你找出并返回第 n 个 丑数 。丑数 就是只包含质因数 2、3 和/或 5 的正整数。$n \in [1, 1690]$。

中规中矩的动态规划

正向思维方法：判断每一个数是否是丑数，如果是，记录当前数字，并将计数器 $+1$。如果计算器此时等于 $n$，返回当前数字即可。如何判断一个数是否是丑数，可参考 # 263. 丑数。本文将采用动态规划的思想来求解第 $n$ 个丑数。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i]$ 是第 i 个丑数，其中 $i \in [1, n]$。

NOTE: 为方便计算，$dp$ 第 $0$ 位的元素当作哨兵节点，不介入整个状态的转移过程。

2、确定 dp 状态方程

试想丑数是如何计算出来：假设有一个指针 $p$，初始状态 $p=1$ (也是第一个丑数）；既然丑数只能有$2$、$3$、$5$ 三个因子，那就从初始状态 $p=1$ 不断去 $\times 2、\times 3、\times 5$（即，$p \times 2$，$p \times 3$，$p \times 5$），或者是 $\times$ 2、3、5之间的组合（即，$p \times 2 \times 3$，$p \times 3 \times 5$，$p \times 2 \times 3 \times 5$）。为保证计算出来的丑数保持相对大小顺序，运算时应取计算结果的最小值。

定义三个指针 $p_2$、$p_3$、$p_5$，起始状态为 $p_2=p_3=p_5=1$。对于 $dp[i]$ 存在，

如果此时，

• $dp[i] == dp[p_2] \times 2$，说明第 i 个丑数归位，此时 $p_2$ 指针向前移动一位，即 $p_2++$；
• $dp[i] == dp[p_3] \times 3$，说明第 i 个丑数归位，此时 $p_3$ 指针向前移动一位，即 $p_3++$；
• $dp[i] == dp[p_5] \times 5$，说明第 i 个丑数归位，此时 $p_5$ 指针向前移动一位，即 $p_5++$；

3、确定 dp 初始状态

$dp[1]$ 代表第 $1$ 个丑数，即 $dp[1] = 1$;

4、确定遍历顺序

从 $i = 2$ 遍历到 $i = n$;

5、确定最终返回值

$dp[n]$ 是第 $n$ 个丑数，即为最终返回值。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n)
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function nthUglyNumber(n: number): number {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[1] = 1;
    let p2 = 1, p3 = 1, p5 = 1;
    
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        const num2 = dp[p2] * 2, num3 = dp[p3] * 3, num5 = dp[p5] * 5;
        dp[i] = Math.min(num2, num3, num5);
        if (dp[i] === num2) {
            p2++;
        } else if (dp[i] === num3){
            p3++;
        } else if (dp[i] === num5) {
            p5++;
        }
    }
    return dp[n];
};

参考