数据结构与算法（六）树的入门

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树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。 树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

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树具有以下特点：

  1. 每个结点有零个或多个子结点；
  2. 没有父结点的结点为根结点；
  3. 每一个非根结点只有一个父结点；
  4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

树的相关术语

  • 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。
  • 树的度：树中所有结点的度的最大值。
  • 叶子结点：度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点。
  • 分支结点：度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点。

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  • 结点的层次：从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推。
  • 结点的层序编号：将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
  • 树的高度（深度）：树中结点的最大层次。

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  • 森林：m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

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  • 孩子结点：一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点。
  • 双亲结点（父结点）：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点。
  • 兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点。

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二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树（每个结点最多有两个子结点）

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满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

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完全二叉树

叶子节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。

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满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。

判断某二叉树是否是完全二叉树

完全二叉树的特点：

  1. 叶子结点只能出现在最下两层。
  2. 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
  3. 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
  4. 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
  5. 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

给每个结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树，否则就是。

二叉查找树的创建

二叉树的结点类

根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。

结点类设计

类名Node<K, V>
构造方法Node(K key, V value, Node<K, V> left, Node<K, V> right)：创建Node对象
成员变量private Node<K, V> left：记录左子结点
private Node<K, V> right：记录右子结点
private K key：存储键
private V value：存储值

结点类代码实现

/**
 * 二叉查找树结点
 *
 * @param <K>
 * @param <V>
 */
@NoArgsConstructor
@AllArgsConstructor
@Data
private static class Node<K, V> {
    private K key;
    private V value;
    private Node<K, V> left;
    private Node<K, V> right;
}

二叉查找树设计

类名BinaryTree<K extends Comparable<K>, V>
构造方法BinaryTree()：创建BinaryTree对象
成员变量private Node<K, V> root：记录根结点
private int n：记录树中元素的个数
成员方法public void put(K key,V value)：向树中插入一个键值对
private Node put(Node<K, V> x, K key, V value)：给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树
public V get(K key)：根据key，从树中找出对应的值
private V get(Node<K, V> x, K key)：从指定的树x中，找出key对应的值
public void delete(K key)：根据key，删除树中对应的键值对
private Node delete(Node<K, V> x, K key)：删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树
public int size()：获取树中元素的个数

二叉查找树代码实现

public class BinaryTree<K extends Comparable<K>, V> {

    /**
     * 记录根结点
     */
    private Node<K, V> root;

    /**
     * 记录树中元素的个数
     */
    private int n;

    public BinaryTree() {

    }

    /**
     * 插入一个键值对
     */
    public void put(K key, V value) {
        root = put(root, key, value);
    }

    /**
     * 1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
     * 2.如果当前树不为空，则从根结点开始:
     * 2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点
     * 2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点
     * 2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可
     */
    private Node<K, V> put(Node<K, V> x, K key, V value) {
        if (x == null) {
            n++;
            return new Node<>(key, value, null, null);
        }
        var cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            // 找右子树
            x.right = put(x.right, key, value);
        } else if (cmp < 0) {
            // 找左子树
            x.left = put(x.left, key, value);
        } else {
            // 替换值
            x.value = value;
        }
        return x;
    }

    public V get(K key) {
        return get(root, key);
    }

    private V get(Node<K, V> x, K key) {
        if (x == null) {
            return null;
        }
        var cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            return get(x.right, key);
        } else if (cmp < 0) {
            return get(x.left, key);
        } else {
            return x.value;
        }
    }

    public void delete(K key) {
        delete(root, key);
    }

    /**
     * 1. 找到被删除结点
     * 2. 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
     * 3. 删除右子树中的最小结点
     * 4. 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
     * 5. 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
     */
    private Node<K, V> delete(Node<K, V> x, K key) {
        if (x == null) {
            return null;
        }
        var cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            // 找右子树
            x.right = delete(x.right, key);
        } else if (cmp < 0) {
            // 找左子树
            x.left = delete(x.left, key);
        } else {
            // 先找到右子树中最小的结点
            n--;
            if (x.right == null) {
                return x.left;
            }
            if (x.left == null) {
                return x.right;
            }
            // 遍历获取右子树最左结点
            var minNode = min(x.right);
            // 删除右子树中最小的节点
            var n = x.right;
            while (n.left != null) {
                if (n.left.left == null) {
                    n.left = null;
                } else {
                    n = n.left;
                }
            }

            // 让x结点的左子树成为minNode的左子树
            minNode.left = x.left;
            // 让x结点的右子树成为minNode的右子树
            minNode.right = x.right;
            // 让x节点的父节点指向minNode
            x = minNode;
        }
        return x;
    }

    public int size() {
        return n;
    }

    public Node<K, V> min() {
        return min(root);
    }

    private Node<K, V> min(Node<K, V> x) {
        if (x.left != null) {
            return min(x.left);
        } else {
            return x;
        }
    }

    public Node<K, V> max() {
        return max(root);
    }

    private Node<K, V> max(Node<K, V> x) {
        if (x.right != null) {
            return max(x.right);
        } else {
            return x;
        }
    }

    /**
     * 二叉查找树结点
     *
     * @param <K>
     * @param <V>
     */
    @NoArgsConstructor
    @AllArgsConstructor
    @Data
    private static class Node<K, V> {
        private K key;
        private V value;
        private Node<K, V> left;
        private Node<K, V> right;
    }
}

插入方法put实现思想

  1. 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

  2. 如果当前树不为空，则从根结点开始：

    1. 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

    2. 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

    3. 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

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查询方法get实现思想

从根节点开始：

  1. 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
  2. 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
  3. 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想

  1. 找到被删除结点；
  2. 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
  3. 删除右子树中的最小结点
  4. 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
  5. 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

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二叉树的基础遍历

很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问题。

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我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

  1. 前序遍历：先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
  2. 中序遍历：先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
  3. 后序遍历：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：

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学习二叉树的遍历，一定要有递归思想，比如前序遍历，本质顺序是：根→左→右，先访问E，然后访问B，但是B也是一棵树，此时思维应该转换到以B为根结点的子树上，所以B下面是访问A。

前序遍历

根节点第一个（前面）访问，所以叫前序遍历

实现步骤：

  1. 把当前结点的key放入到队列中
  2. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
  3. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
/**
 * 使用前序遍历，获取整个树中的所有键
 */
public Queue<K> preErgodic() {
    var keys = new LinkedList<K>();
    preErgodic(root, keys);
    return keys;
}

/**
 * 使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
 */
private void preErgodic(Node<K, V> x, Queue<K> keys) {
    if (x == null) {
        return;
    }
    // 把x结点的key放入queue
    keys.add(x.key);
    preErgodic(x.left, keys);
    preErgodic(x.right, keys);
}

中序遍历

根节点在第二个（中间）访问，所以叫中序遍历

实现步骤：

  1. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
  2. 把当前结点的key放入到队列中;
  3. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
/**
 * 使用中序遍历，获取整个树中的所有键
 */
public Queue<K> midErgodic() {
    var keys = new LinkedList<K>();
    midErgodic(root, keys);
    return keys;
}

private void midErgodic(Node<K, V> x, Queue<K> keys) {
    if (x == null) {
        return;
    }
    midErgodic(x.left, keys);
    // 把x结点的key放入queue
    keys.add(x.key);
    midErgodic(x.right, keys);
}

后序遍历

根节点在第三个（后面）访问，所以叫中序遍历

实现步骤：

  1. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
  2. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
  3. 把当前结点的key放入到队列中
/**
 * 使用后序遍历，获取整个树中的所有键
 */
public Queue<K> postErgodic() {
    var keys = new LinkedList<K>();
    postErgodic(root, keys);
    return keys;
}

private void postErgodic(Node<K, V> x, Queue<K> keys) {
    if (x == null) {
        return;
    }
    postErgodic(x.left, keys);
    postErgodic(x.right, keys);
    // 把x结点的key放入queue
    keys.add(x.key);
}

二叉树的层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

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那么层序遍历的结果是：EBGADFHC

实现步骤：

  1. 创建队列，存储每一层的结点；

  2. 使用循环从队列中弹出一个结点：

    1. 获取当前结点的key；

    2. 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中

    3. 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

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/**
 * 层序遍历
 * 1.创建队列，存储每一层的结点；
 * 2.使用循环从队列中弹出一个结点：
 * 2.1 获取当前结点的key；
 * 2.2 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
 * 2.3 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
 */
public Queue<K> layerErgodic() {
    var keys = new LinkedList<K>();
    var nodes = new LinkedList<Node<K, V>>();
    nodes.add(root);

    while (!nodes.isEmpty()) {
        var node = nodes.pop();
        keys.add(node.key);

        if (node.left != null) {
            nodes.add(node.left);
        }
        if (node.right != null) {
            nodes.add(node.right);
        }
    }

    return keys;
}

二叉树的最大深度问题

给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）

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上面这棵树的最大深度为4。

实现步骤

  1. 如果根结点为空，则最大深度为0；
  2. 计算左子树的最大深度；
  3. 计算右子树的最大深度；
  4. 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
/**
 * 计算整个树的最大深度
 */
public int maxDepth() {
    return maxDepth(root);
}

/**
 * 计算指定树x的最大深度
 */
private int maxDepth(Node<K, V> x) {
    if (x == null) {
        return 0;
    }
    var maxL = 0;
    var maxR = 0;
    // 计算左子树的最大深度
    if (x.left != null) {
        maxL = maxDepth(x.left);
    }
    // 计算右子树的最大深度
    if (x.right != null) {
        maxR = maxDepth(x.right);
    }
    // 比较左右子数的最大深度
    return Math.max(maxL, maxR) + 1;
}

折纸问题

请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。

给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折n次，请从上到下打印所有折痕的方向。

例如：n=1时，打印： down；n=2时，打印： down down up

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分析

我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。

这棵树有这样的特点：

  1. 根结点为下折痕；
  2. 每一个结点的左子结点为下折痕；
  3. 每一个结点的右子结点为上折痕；

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实现步骤

  1. 定义结点类
  2. 构建深度为n的折痕树；
    1. 第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
    2. 如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
    3. 循环遍历队列：
      1. 从队列中拿出一个结点；
      2. 如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
      3. 如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
      4. 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
  3. 使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；
public class PagerFolding {

    /**
     * 构建深度为n的折痕树
     *
     * @param n 深度
     * @return 折痕树
     */
    public static Node<String> createTree(int n) {
        Node<String> root = null;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i == 0) {
                // 1.第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
                root = new Node<>("down");
                continue;
            }
            // 2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
            var nodes = new LinkedList<Node<String>>();
            nodes.add(root);

            //3.循环遍历队列：
            while (!nodes.isEmpty()) {
                //3.1从队列中拿出一个结点
                var temp = nodes.pop();
                //3.2如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
                if (temp.left != null) {
                    nodes.add(temp.left);
                }
                //3.3如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
                else if (temp.right != null) {
                    nodes.add(temp.right);
                }
                //3.4判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
                else {
                    temp.left = new Node<>("down");
                    temp.right = new Node<>("up");
                }
            }
        }
        return root;
    }

    /**
     * 使用中序遍历打印结果
     *
     * @param x
     */
    public static void printTree(Node<String> x) {
        if (x == null) {
            return;
        }
        if (x.left != null) {
            printTree(x.left);
        }
        System.out.print(x.value + " ");
        if (x.right != null) {
            printTree(x.right);
        }
    }

    /**
     * 二叉查找树结点
     *
     * @param <T> 值类型
     */
    @NoArgsConstructor
    @AllArgsConstructor
    @Data
    private static class Node<T> {
        private T value;
        private Node<T> left;
        private Node<T> right;

        public Node(T value) {
            this.value = value;
        }
    }
}

测试

class PagerFoldingTest {

    @Test
    void createTree() {
        var pagerFolding = PagerFolding.createTree(4);
        // down down up down up down up 
        PagerFolding.printTree(pagerFolding);
    }

}
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