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Problem - C - Codeforces

题目

题目大意

统计符合要求的长度为 $n$ 的 $01$ 串 $S=\{s_1,s_2,...,s_n\}$ 的数量。

要求表现为一个 $n\times n$ 的矩阵，其中 $a[i][j]$ 表示：

• 若 $i>j$，则无意义。
• $a[i][j]=1$，则 $\{s_i,s_{i+1},s_j\}$ 包含 $1$ 种字符。
• $a[i][j]=2$，则 $\{s_i,s_{i+1},s_j\}$ 包含 $2$ 种字符。
• $a[i][j]=0$，则不确定 $\{s_i,s_{i+1},s_j\}$ 包含几种字符。

思路

为了方便描述，定义 $s[l,r]$ 表示以 $l$ 和 $r$ 为左右端点的字符串 $\{s_l,s_{l+1},...,r\}$。

思考

首先很容易发现：

• 如果 $a[l][r]=1$，满足 $l\le x\le y \le r$ 的区间 $s[x,y]$ 都应该包含 $1$ 种字符。
• 如果 $a[l][r]=2$，满足 $x\le l\le r \le y$ 的区间 $s[x,y]$ 都应该包含 $2$ 种字符。

通过上述规则，我们将输入的要求矩阵进行改写。如果需要将 $1$ 修改为 $2$，显然方案数为 $0$。将 $2$ 修改成 $1$ 同理。

将矩阵进行改写后，令 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个位置，其中后 $j$ 个位置填的字符相同的方案数。方程为

for (int i=1;i<n;++i)
    for (int j=1;j<=i;++j)
    {
        if (a[i-j+1][i+1]!=2) dp[i+1][j+1]=(dp[i+1][j+1]+dp[i][j])%mod;//一样 
        if (a[i][i+1]!=1) dp[i+1][1]=(dp[i+1][1]+dp[i][j])%mod;//不一样
    }

下面进行解析。假设我们已经求解出了前 $i$ 个位置的 $dp$ 数组，欲填充第 $i+1$ 个位置。枚举其中后 $j$ 个位置填的字符相同，则：

• 如果 $a[i-j+1][i+1]\neq 2$，则 $s_{i+1}$ 可以等于 $s_i$，转移为

让我们论证这一步转移出来的是合法方案：

1. 当我们求解到第 $i+1$ 个位置，那么以 $1~i$ 为右端点的要求一定已经被满足了。
2. 对于以 $i+1$ 为右端点的需求：由状态的定义可知 $s[i-j+1,i]$ 中元素全部相同，让第 $i+1$ 个位置与前一个位置相同，则 $s[i-j+1,i+1]$ 中元素全部相同，符合 $a[i-j+1][i]$ 为 $0$ 或 $1$；对于 $x<i-j+1$，$a[x][i+1]$ 一定不等于 $1$，合法；对于 $i-j+1<x\le i$，$a[x][i+1]$ 一定不等于 $2$，合法。

所以以 1~i+1 为右端点的要求都被满足了。

• 如果 $a[i][i+1]\neq 1$，则 $s_{i+1}$ 可以不等于 $s_i$，转移为

让我们论证这一步转移出来的是合法方案：

如果 $a[i][i+1]\neq 1$，说明没有区间 $x<i$ 使得 $a[x][i+1]=1$，所以合法。

最后对前 $n$ 个位置末尾相同元素数量不同的方案求和即可。

注意取余。

代码

代码写得很不优雅，但是 AC 了就懒得改了……

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e2+5;
const LL mod=998244353;
int n,m,k,a[N][N],lst[N];
LL dp[N][N];
LL solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i) lst[i]=i;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=i;j<=n;++j)
			if (scanf("%d",&a[i][j]),a[i][j]==1) lst[i]=j;
	for (int i=2;i<=n;++i) lst[i]=max(lst[i-1],lst[i]);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=i;j<=n;++j)
		{
			if (j>lst[i]) break;
			if (a[i][j]==2) return 0;
			a[i][j]=1;
		}	
	for (int dt=0;dt<n;++dt)
		for (int i=1;i+dt<=n;++i)
		{
			if (a[i][i+dt]!=2) continue;
			if (i+dt+1<=n) a[i][i+dt+1]=2;
			if (i-1>0) a[i-1][i+dt]=2;
		}
	dp[1][1]=2;
	for (int i=1;i<n;++i)
	{
		for (int j=1;j<=i;++j)
		{
			if (a[i-j+1][i+1]!=2) dp[i+1][j+1]=(dp[i+1][j+1]+dp[i][j])%mod;//一样 
			if (a[i][i+1]!=1) dp[i+1][1]=(dp[i+1][1]+dp[i][j])%mod;//不一样 
		}
	}
	LL ans=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) ans=(ans+dp[n][i])%mod;
	return ans;
		
}
int main()
{
	int T=1;
	while (T--) printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}