开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 12 月更文挑战」的第20天，点击查看活动详情

【Codeforces】Educational Codeforces Round 139 (Div. 2) D. Lucky Chains | 质因数分解

题目链接

Problem - D - Codeforces

题目

题目大意

给定 $x$ 和 $y$，求最小的非负整数 $k$ 使得

如果 $k$ 不存在，输出 -1。

思路

假设

即 $t$ 是 $(x+k)$ 的因数，也是 $(y+k)$ 的因数。那么一定有

即 $t\mid(y-x)$。

所以当且仅当 $t\mid(y-x)$ 时，未知数为 $k$ 的方程 $gcd(x+k,y+k)=t$ 有非负整数解，最小的非负整数解为 $k=t-x\%t$。

对于任三个正整数 $a,b,c>1$，显然有

所以我们只需要对 $y-x$ 所有的质因数分别求出对应的 $t$，取最小值即可。质因数分解时，可以先把 $\sqrt{1e7}$ 范围内的质数先筛出来加快求解。（也可以使用线性筛记录每个合数的最小质因数，直接 $O(logn)$ 进行质因数分解）。

最终解题流程为：

• 当 $gcd(x,y)>1$时，我们直接输出 0。
• 当 $y-x=1$ 时，我们直接输出 -1。
• 其他情况我们枚举 $y-x$ 的质因数，求解最小的 $t$ 即可。

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e6+5,M=3201;
const LL mod=1e9+7;
int n,m,k;
int v[M],p[M],tot;
int gcd(int a,int b)
{
	if (b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
LL solve()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if (gcd(n,m)!=1) return 0;
	k=m-n;
	if (k==1) return -1;
	int ans=k-n%k;
	for (int i=1;i<=tot&&p[i]*p[i]<=k;++i)
	{
		if (k%p[i]!=0) continue;
		while (k%p[i]==0) k/=p[i];
		ans=min(ans,p[i]-n%p[i]);
	}
	if (k!=1) ans=min(ans,k-n%k);
	return ans;
}
int main()
{
	int T=1;
	n=M-1;
	for (int i=2;i<=n;++i)
	{
		if (!v[i]) p[++tot]=i;
		for (int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j)
		{
			v[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
		}
	}
	scanf("%d",&T);
	while (T--) printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}