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下面我们对扩展欧几里得算法进行简单的介绍。

问题定义

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。

已知整数 $a$ 和正整数 $b$，扩展欧几里得算法可以在求得 $a$ 与 $b$ 的最大公约数的同时，找到满足贝祖等式

的一组整数解 $(x,y)$。

思路

为求解

根据普通欧几里得算法，我们知道

假设我们已经求出了一组数 $(x_2,y_2)$，满足

联立以上三个式子，我们可以得到

可推知

问题转化成了求解 $x_2$ 和 $y_2$。

可以发现，表达式 $a\times x+b\times y=gcd(a,b)$ 的形式与表达式 $b\times x_2+(a\mod b)\times y_2=gcd(b,a\mod b)$ 完全相同，我们可以用求解第一个表达式的方式同理去求解第二个表达式。 不断重复以上过程，直到 $y_k$ 的系数为 $0$ 时，我们可以得到最终表达式的的一组可行解$(x_k,y_k)$。

然后我们不断将求得的解带回上一层，最终可以求得贝祖等式

的一组整数解 $(x,y)$。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y,y=t-(a/b)*y;
    return gcd;
}
int main()
{
	int x,y,a,b;
	cout<<"求解：ax+by=gcd(a,b)\na=";
	cin>>a;
	cout<<"b=";
	cin>>b;
	cout<<"gcd(a,b)="<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
	cout<<"解得：x="<<x<<",y="<<y;
	return 0;
}