算法系列二分查找

二分查找

适用于有序数组，思想比较简单，每次折半搜索，时间复杂度为O(logN)。具体实现参考 Search.java ，特别需要注意二分查找的边界问题。

标准写法：

class Solution {
    public int binarySearch(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) { // 退出循环时left=right+1区间内没有任何一个元素,所以要跳出循环
            int mid = left + (right - left)/2;  // 防止溢出           
            if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return mid;	// 如果target存在，则一定会进入本分支
            }
        }
        return left;	// target不存在，返回插入位置，也可返回-1表示未找到
    }
}
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注意：

上述算法正确运行的前提是不存在重复元素，如果存在重复元素，则无法保证最终返回的是重复元素中的哪一个元素的下标。如果nums中不存在目标元素，则返回的是target应该插入的位置。
为何是while(left <= right)？
- 算法初始化时right = nums.length - 1，搜索下标的区间的应该是左闭右闭的[left, right]，因为可能存在更新left = mid + 1 = right的情况（eg：在[0, 2]中找2，此时mid = right = left = 1没有被搜索就直接认为元素不存在了），所以不能写成while(left < right)。
- 循环退出条件为left = right+1，此时可以保证在未找到元素时返回目标元素的正确插入位置（如果目标元素比原始数组中的任何元素都大的话）。
如果写成while(left != right)，当数组长度为1时，直接无法找到又有效下标（如果是直接返回-1的话）；当数组中没有目标元素时，程序陷入死循环。
为何是mid = left + (right - left)/2？
- 如果写成 mid = (left + right)/2，左右边界相加可能超过Integer.MAX_VALUE导致越界。而(first + last) / 2 = (2 * first + last - first) / 2 = first + length / 2，其中length = last - first为区间长度。此时不可能存在越界的情况。

left从0起始，mid是向下取整，left只在mid遇到确定小于目标数时才前进一步，left一直在朝着第一个目标数的位置在逼近。永远记住left是对的！！！

而right的收缩往往是大胆的（如写法二部分），所以right不可取。

写法二

寻找左侧边界的二分查找

记住 标准写法最后的原则！此时寻找最左侧的目标值将变得很简单：

class Solution {
    public int binarySearchFirst(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) { 
            int mid = left + (right - left)/2;         
            if (nums[mid] >= target) {	// 取等号的时候不能直接返回，因为左边可能还有相同的数字
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;	// 如果target不存在则left表示插入位置
        /*
        if (left != nums.length && nums[left] == target) {
        	return left;
        }
        return -1;	// 表示未找到
        */
    }
}
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寻找右侧边界的二分查找

和寻找左侧边界解法类似，只是最终需要返回right而不是left（因为此时左侧的前进是激进的，右侧是保守的）!如果目标元素不存在，返回的下标没有意义！

class Solution {
    public int binarySearchLast(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;

        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] <= target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        return right;
    }
}
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总结

while 中到底是 left < right 还是 left <= right (假定left=0,right=n-1分别为左右两端元素的下标值)?

left <= right的循环退出条件为left = right + 1, 此时适用于原始数组中午target值时可以返回target的正确插入位置(return left)
left < right的循环退出条件为left = right, 此时适用于不允许数组越界访问的情形(因为循环体可能可能存在mid+1可能越界的情况), 此时return left/right均可。

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算法系列 二分查找

二分查找

标准写法：

写法二

寻找左侧边界的二分查找

寻找右侧边界的二分查找

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总结

算法系列二分查找