夯实算法-跳跃游戏

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题目：LeetCode

给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。

数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

判断你是否能够到达最后一个下标。

示例 1：

输入： nums = [2,3,1,1,4]
输出： true
解释： 可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。

示例 2：

输入： nums = [3,2,1,0,4]
输出： false
解释： 无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。

提示：

• 1 <= nums.length <= 3

解题思路

记数组长度是$n$，从前往后跳，每一步，下标$i$可以跳的最大长度是其元素$[i]$，意思就是每一步都有若干选择，可以跳 $0$，也可以跳$[i]$，问能否到达最后一个下标 $n-1$，很明显可以用动态规划解决。

状态转移方程是结果导向，换句话说就是要尽可能的以直接得到最终结果来定义状态。

记$f(i)$为能否跳跃到下标为 $i$ 的状态，那么 $f(n-1)$ 就是整个问题的解。

如果从$i−1$位置跳，那么只要$[i−1]$大于等于$1$，并且$f(i−1)$也是$T$，就能达到位置$i$；同理，如果从$i−2$位置跳，只要$[i−2]$大于等于$2$,并且$f(i−2)$是$T$即可，

可得到状态转移方程： $f(i)=f(j)∧nums[j]≥i−j,j∈[0,i−1]$

且明显$f(0)=T$。

代码实现

public boolean canJump(int[] nums) {
    final int n = nums.length;
    boolean[] dp = new boolean[n];
    dp[0] = true;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (dp[j] && nums[j] >= i - j) {
                dp[i] = true;
            }
        }
    }
    return dp[n - 1];
}

复杂度分析

• 空间复杂度：$O(1)$
• 时间复杂度：$O(n^2)$

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