医学图像重建2 | CT&PET，比尔定律，衰减矫正

• 转自微信公众号：机器学习炼丹术
• 笔记：陈亦新

比尔定律

百度的介绍

X光CT

X光CT利用X光穿透病人身体后的残余光线进行测量，然后用测量值来估算病人体内的截面图像。虽然X光具有很高的能量，可以穿透人体，但是并不是所有的光子都可以穿透。

• 有些发生了散射，从而改变了传播方向，而且光子能量有所降低；散射是指光子能量一部分给了电子，让电子可以脱离原轨道成为自由电子。
• 还有一部分光子在体内由于光电效应完全消失了，光子的能量被人体完全吸收，被吸收的能量把电子从原子中弹射出去。剂量太大，可能会对DNA产生伤害。

X光进入人体前的强度为$I_0$，离开人体后的强度为$I_d$，两者服从比尔定律：

$\frac{I_d}{I_0}=e^{-p}$

p是物体沿着X光路径上的线性衰减系数的先积分，因此线积分p可以写成:

$p=ln(\frac{I_d}{I_0})$

这个线迹分就是我们用来重建的投影数据。

衰减系数是不同物质材料的特有性质，软组织的衰减系数较小，骨头有较大的衰减系数。衰减系数还与X光的能量有关，能量越高，衰减系数越小。

PET和SPECT

这是发射型断层成像。就是把发射源放在病人身体内部，放射线从病人身体内射出，最后被探测器接收。具有短半衰期的放射性的原子可以由回旋加速器或核反应堆获得。这些放射性元素再用来制造放射性药物。

通常放射性药物通过手臂静脉血管注射进人体内，也可以通过病人的呼吸道或消化道进入人体。放射性元素会在放射性衰退的时候释放一个正电子。正电子在自然界中生存的时间十分短暂，因为在自然界中正电子很快就会很快遇到一个电子，电子和正电子发生作用时，他们的质量会完全消失，转换为能量而产生出两个能量为51keV的伽马光子。

衰减矫正

对于PET，伽马射线的光子在一个非均匀的介质中发射并传播。光子要达到1号探测器，需要经过衰减路径$L_1$,根据比尔定律，这个衰减因子写成$e^{-\int_{L_1}\mu}$.同样的，衰减路径$L_2$的衰减因子$e^{-\int_{L_2}\mu}$.

这个衰减因子是0到1的概率，可以表示探测器接收到光子的概率。。因此这个一对光子被两个探测器同时检测到的概率就是两个概率的乘积，总的检测概率就是：

$e^{-\int_{L_1+L_2}\mu}$

$L_1+L_2$刚好是整个直线L。

因此总衰减的因子是整条路径确定的，与伽马射线光源在该路径上的具体位置无关。经过衰减修正后的PET的数据才是放射性物质在人体内部分布图的线积分：

衰减因子的倒数用来补偿光子在人体内的衰减。对于PET成像，没有必要先重建一个衰减系数的图像来修正衰减效应。

其他知识点

• 在医院的CT图像是病人体内的线性衰减系数的分布图吗？
• 回答：我们看到的衰减系数是相对衰减系数，CT值是用水的衰减系数作为参考值定义的：

【PET例题】

之前我还有疑问，为什么说“PET图像不需要重现一个衰减系数的图像来修正衰减效应。”这里可以看出，比尔定律的衰减因子移除掉之后，PET的修正值反而和人体组织的衰减系数无关了。