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Problem - 1567C - Codeforces

题目

题目大意

对于给定的 $n$ 输出满足 $a+b=n$ 的不同有序正整数对 $(a,b)$ 的数量，在本题中 + 的进位规则从“满 10 向高一位进 1”变为“满 10 向高二位进 1”。如 $5+5=100$ 。

动态规划

思路

一开始读懂题没敢下手做，不理解数据范围为啥只给到 $n\le 10^9$ ，感觉 $lg(n)\le 10^5$ 比较合适 QAQ

容易发现虽然这个题里的进位规则有所改变，但依然是要么进 1 要么不进位。所以我们可以考虑 DP。将 $n$ 由低位向高位写成 $a_1,a_2,...,a_{tot}$ 。令 $dp[i][0]$ 表示前 $i$ 个元素乱选且满足要求的方案其中第 $i$ 位不进位， $dp[i][1]$ 表示前 $i$ 个元素乱选且满足要求的方案其中第 $i$ 位进位。怎么转移呢？

首先手玩出两个一位数相加和为 $x$ 的方案放在数组 $qwq[x]$ 里，然后我们从低到高遍历输入的 $n$ 的每一位 $i$ ，显然有（即从 $i-2$ 进不进位分别转移）：

$dp[i][0]=qwq[a[i]]\times dp[i-2][0]+qwq[a[i]-1]\times dp[i-2][1]$
$dp[i][1]=qwq[a[i]+10]\times dp[i-2][0]+qwq[a[i]+9]\times dp[i-2][1]$

容易发现奇偶位置方案相互独立，由乘法原理最终的方案为 $dp[tot][0]\times dp[tot-1][0]$ 。

注意：

转移和输出答案过程中可能出现越界问题，需要进行特判。
模数是 $1e9+9$ ……
由于要求 $a$ 和 $b$ 均为正整数，答案需要减去带有 0 的情况，所以应该输出 $dp[tot][0]\times dp[tot-1][0]-2$ 。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=11;
int n,tot,a[N];
LL dp[N][2];
LL qwq[21]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};
LL solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for (tot=0;n;n/=10) a[++tot]=n%10;
	dp[1][0]=qwq[a[1]];
	dp[1][1]=qwq[a[1]+10];
	if (tot==1) return printf("%d\n",dp[1][0]-2),0;
	dp[2][0]=qwq[a[2]];
	dp[2][1]=qwq[a[2]+10];
	for (int i=3;i<=tot;++i)
	{
		dp[i][0]=qwq[a[i]]*dp[i-2][0];
		if (a[i]) dp[i][0]+=qwq[a[i]-1]*dp[i-2][1];
		dp[i][1]=qwq[a[i]+10]*dp[i-2][0]+qwq[a[i]+9]*dp[i-2][1];
	}
	printf("%lld\n",dp[tot][0]*dp[tot-1][0]-2);
        return 0;
}
int main()
{
	int T=1;
	scanf("%d",&T);
	while (T--) solve();
	return 0;
}

推式子直接输出

思路

看了题解大惊失色（

我们刚才指出了

容易发现奇偶位置方案相互独立

那么实际上将 $n$ 的每个数位直接按照奇偶分开，顺序连成两个数字 $n_1$ 和 $n_2$ ，原先的进两位就变成的普通的进位……如 $12345$ 可以划分成 $135$ 和 $24$ 。那么一个数字 $x$ 划分成两个数之和的方案数显然就是 $x+1$ ，所以直接输出 $(n_1+1)\times(n_2+1)-2$ 即可。