【算法52天：Day52】第九章动态规划 最长重复子数组（718）

题目二：

思路

注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。这种问题动规最拿手，动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，大家看下面的dp数组状态图就明白了。

2. 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3. dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4. 确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？

也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

代码如下：

for (let i = 1; i <= A.length; i++) {
    for (let j = 1; j <= B.length; j++) {
        if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
}

5. 举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

以上五部曲分析完毕，JS代码如下：

var findLength = function(nums1, nums2) {
    let dp = new Array(nums1.length + 1).fill(0).map(item => new Array(nums2.length + 1).fill(0))
    let result = 0
    for (let i = 1; i <= nums1.length; i++) {
        for (let j = 1; j <= nums2.length; j++) {
            if (nums1[i - 1] === nums2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                if (result < dp[i][j]) {
                    result = dp[i][j]
                }
            }
        }
    }
    return result
};

• 时间复杂度：$O(n × m)$，n 为A长度，m为B长度
• 空间复杂度：$O(n × m)$

#滚动数组

在如下图中：

我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。

也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。

此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。

const findLength = (A, B) => {
        let dp = new Array(B.length + 1).fill(0)
        let result = 0;
        for (let i = 1; i <= A.length; i++) {
            for (let j = B.length; j > 0; j--) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                } else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
                if (dp[j] > result) result = dp[j];
            }
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n × m)$，n 为A长度，m为B长度
• 空间复杂度：$O(m)$