【算法51天：Day51】第九章动态规划 最佳买卖股票时机含冷冻期（309）

台风与玫瑰
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题目一：

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思路

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题加上了一个冷冻期

在动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)中有两个状态，持有股票后的最多现金，和不持有股票的最多现金。

动规五部曲，分析如下：

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

其实本题很多同学搞的比较懵，是因为出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。 具体可以区分出如下四个状态：

  • 状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）

  • 卖出股票状态，这里就有两种卖出股票状态

    • 状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
    • 状态三：今天卖出了股票

  • 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

  • 0：状态一 达到买入状态
  • 1：状态二 达到保持卖出状态
  • 2：状态三 达到今天就卖出状态
  • 3：状态四 冷冻期状态

很多题解为什么讲的比较模糊，是因为把这四个状态合并成三个状态了，其实就是把状态二和状态四合并在一起了。

从代码上来看确实可以合并，但从逻辑上分析合并之后就很难理解了，所以我下面的讲解是按照这四个状态来的，把每一个状态分析清楚。

注意这里的每一个状态，例如状态一，是买入股票状态并不是说今天已经就买入股票，而是说保存买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

  1. 确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

  • 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]

  • 操作二：今天买入了，有两种情况

    • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
    • 前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

所以操作二取最大值，即：Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]

那么dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

  • 操作一：前一天就是状态二
  • 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

  • 操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

  • 操作一：昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

综上分析，递推代码如下：

dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]))
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]
dp[i][3] = dp[i - 1][2]
  1. dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，买入股票所剩现金为负数。

保持卖出股票状态（状态二），第0天没有卖出dp[0][1]初始化为0就行，

今天卖出了股票（状态三），同样dp[0][2]初始化为0，因为最少收益就是0，绝不会是负数。

同理dp[0][3]也初始为0。

  1. 确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

  1. 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

代码如下：

  • 0：状态一 达到买入状态
  • 1：状态二 达到保持卖出状态
  • 2：状态三 达到今天就卖出状态
  • 3：状态四 达到冷冻期状态
var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length
    // 状态：【0：达到买入状态】 【1：达到保持卖出状态】【2：达到今天就卖出状态】【3：达到冷冻期状态】
    let dp = new Array(len).fill(0).map(item => new Array(4).fill(0))
    dp[0][0] = -prices[0]
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        // 达到买入状态：操作一：前一天是买入状态 操作二：（1）达到冷冻期状态（2）达到保持卖出状态
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]))
        // 达到保持卖出状态：（1）前一天是卖出状态（2）前一天是冷冻期
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])
        // 达到今天就卖出状态：（1）前一天达到买入状态
        dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]
        // 达到冷冻期状态：（1）前一天就卖出
        dp[i][3] = dp[i - 1][2]
    }
    return Math.max(dp[len - 1][1], dp[len - 1][2], dp[len - 1][3])
};

#总结

这次把冷冻期这道题目，讲的很透彻了，细分为四个状态，其状态转移也十分清晰，建议大家都按照四个状态来分析，如果只划分三个状态确实很容易给自己绕进去。

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