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题目

给定长度为 2n 的整数数组 nums，你的任务是将这些数分成 n 对, 例如 (a1, b1), (a2, b2), ..., (an, bn)，使得从 1 到 n 的 min(ai, bi) 总和最大。

返回该 最大总和。

示例 1：

• 输入： nums = [1,4,3,2]
• 输出： 4
• 解释： 所有可能的分法（忽略元素顺序）为：

1. (1, 4), (2, 3) -> min(1, 4) + min(2, 3) = 1 + 2 = 3
2. (1, 3), (2, 4) -> min(1, 3) + min(2, 4) = 1 + 2 = 3
3. (1, 2), (3, 4) -> min(1, 2) + min(3, 4) = 1 + 3 = 4 所以最大总和为 4

示例 2：

• 输入： nums = [6,2,6,5,1,2]
• 输出： 9
• 解释： 最优的分法为 (2, 1), (2, 5), (6, 6). min(2, 1) + min(2, 5) + min(6, 6) = 1 + 2 + 6 = 9

方法一：排序

思路及解法

不失一般性，我们令每一组 $(a_i, b_i)$ 满足 $a_i \leq b_i$（若不满足，交换二者即可），这样我们需要求得的总和

$\sum_{i=1}^n \min(a_i, b_i)$

就等于所有 $a_i$ 的和

$(1)：$ $\sum_{i=1}^n a_i$

接下来，我们将所有的 $(a_i, b_i)$ 按照升序排序，使得 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$。这样一来，对于任意的 $a_j$

• 它不大于 $a_{j+1}, a_{j+2}, \cdots, a_n$；
• 它不大于 $b_j$；
• 由于 $a_i \leq b_i$ 对于任意的 $i$ 恒成立，因此它不大于 $b_{j+1}, b_{j+2}, \cdots, b_n$。

由于 $a_j$ 不大于 $\{a\}$ 中的 $n-j$ 个元素，也不大于 $\{b\}$ 中的 $n-j+1$ 个元素，而这些元素都是从 $\textit{nums}$ 中而来的，因此 $a_j$ 在数组 $\textit{nums}$ 中「从大到小」至少排在第 $(n-j) + (n-j+1) + 1 = 2(n-j+1)$ 个位置，也就是「从小到大」至多排在第 $2n - 2(n-j+1) + 1 = 2(j-1) + 1$ 个位置，这里位置的编号从 $1$ 开始，即

$a_j \leq c_{2(j-1)+1}$

其中数组 $c$ 是将数组 $\textit{nums}$ 升序排序得到的结果，代入 $(1)$ 式即可得到

$(2)：$ $\sum_{i=1}^n a_i \leq \sum_{i=1}^n c_{2(i-1)+1}$

另一方面，令 $(a_1, b_1) = (c_1, c_2), (a_2, b_2) = (c_3, c_4)$, $\cdots, (a_n, b_n) = (c_{2n-1}$, 此时每一组 $(a_i, b_i)$ 都满足 $a_i \leq b_i$ 的要求，并且有 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，此时

$\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n c_{2(i-1)+1}$

即 $(2)$ 式的等号是可满足的。因此所要求得的最大总和即为

$\sum_{i=1}^n c_{2(i-1)+1}$

代码

class Solution {
    func arrayPairSum(_ nums: [Int]) -> Int {
        var nums: [Int] = nums.sorted()
        var count: Int = nums.count
        var i: Int = 0
        var ans: Int = 0
        while i < count {
            ans += nums[i]
            i += 2
        }
        return ans
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：时间复杂度：$O(n\log n)$，即为对数组 $\textit{nums}$ 进行排序的时间复杂度。

• 空间复杂度：空间复杂度：$O(\log n)$，即为排序需要使用的栈空间。