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摘要
AOV 网是图的一种类型，本质是一个有向无环图。AOV 网的排序被称为拓扑排序，它的实现思路是卡恩算法。代码实现上要留意删除顶点的操作，这是一个很巧妙的处理方式。
通常一项大的工程会被拆分为多个小的子工程。子工程之间可能存在一定的顺序关系，即一个子工程会在其他子工程完成之后才会开始。
在现代化管理中，人们通常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程，子工程被称为活动（Activity）。所以以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系，这样的图被称为 AOV 网（Activity On Vertex Network） 。
AOV 网
标准的 AOV 网必须是一个有向无环图，即从任何一个顶点出发，无论怎么走，都无法回到这个顶点自身。如下图所示：
从图中可以梳理出每个顶点的依赖关系：
- B 依赖于 A；
- C 依赖于 B；
- D 依赖于 B；
- E 依赖于 B、C、D；
- F 依赖于 E。
拓扑排序
将 AOV 网中所有活动排成一个序列，使得每个活动的前驱活动都排在该活动的前面，这样的序列就是拓扑排序。
拓扑排序中有两个关键词，即前驱活动和后继活动，他们的定义分别是：
- 前驱活动：有向边起点的活动被称为终点的前驱活动，即只有当这个活动的前驱活动都完成之后，才可以开始该活动；
- 后继活动：有向边终点的活动被称为起点的后继活动。
如下图所示，它的拓扑排序是 A、B、C、D、E、F 或者 A、B、D、C、E、F（可以看出一个 AVO 网的拓扑排序不是唯一确定的）。
排序思路
拓扑排序的思路可以使用卡恩算法实现，它的大致逻辑是，假设一个存放排序结果的列表为 L，然后进行如下操作：
- 把所有入度为 0 的顶点放到 L 中，并在图中删除该顶点；
- 重复 1 步骤操作，直到图中没有度为 0 的 顶点为止。
然后可以比较 L 和图中总的顶点数量，如果 L 等于图中总的顶点数量，则拓扑排序完成，如果是小于的关系，那么就证明图中存在环，无法进行拓扑排序。
入度是什么？
一个顶点的入度为 x，是指有 x 条边以该顶点为终点；
代码实现
依据排序的思路，首先需要创建一个数组存放排序的结果。顶点入度的数量直接可以通过它的入度集合获取到。
关于删除顶点的操作，这里有一个取巧的点，就是创建一个 Map 存放入度不为 0 的顶点，和它的入度值。那么删除操作，就是将它的入度值减1处理。代码如下：
public List<V> topologiclSort() {
List<V> list = new ArrayList<>();
Queue<Vertex<V, E>> queue = new LinkedList<>();
// 存放顶点和它的入度值
Map<Vertex<V, E>, Integer> ins = new HashMap<>();
vertices.forEach((v, vertex) -> {
int size = vertex.inEdges.size();
if (size == 0) {
queue.offer(vertex);
} else {
ins.put(vertex, size);
}
});
while (!queue.isEmpty()) {
Vertex<V, E> vertex = queue.poll();
list.add(vertex.value);
for (Edge<V, E> edge : vertex.outEdges) {
// 获取顶点的入度值，并 -1 达到删除顶点效果
int toIn = ins.get(edge.to) - 1;
if (toIn == 0) {
queue.offer(edge.to);
} else {
ins.put(edge.to, toIn);
}
}
}
return list;
}
总结
- AOV 网是一个有向无环图；
- 拓扑排序实现的思路可以使用卡恩算法处理，即不断获取入度为 0 的顶点；
- 删除顶点可以转换为保存顶点的入度值，将入度值在合适的地方减1操作。
