持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第24天，点击查看活动详情

题目

对于一个 正整数，如果它和除了它自身以外的所有 正因子 之和相等，我们称它为 「完美数」。

给定一个 整数 n， 如果是完美数，返回 true；否则返回 false。

示例 1：

• 输入： num = 28
• 输出： true
• 解释： 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 1, 2, 4, 7, 和 14 是 28 的所有正因子。

示例 2：

• 输入： num = 7
• 输出： false

方法一：枚举

思路及解法

我们可以枚举 num 的所有真因子，累加所有真因子之和，记作 sum。若 sum=num$ 则返回 true，否则返回 false。

在枚举时，我们只需要枚举不超过 $\sqrt{num}$ 的数。这是因为如果 num 有一个大于 $\sqrt{num}$ 的因数 d， 那么它一定有一个小于 $\sqrt{num}$ 的因数 $\dfrac{\textit{num}}{d}$。

在枚举时，若找到了一个因数 d，那么就找到了因数 $\dfrac{\textit{num}}{d}$。注意当 $d\cdot d=\textit{num}$ 时这两个因数相同，此时不能重复计算。

代码

class Solution {
    func checkPerfectNumber(_ num: Int) -> Bool {
        if 1 == num {
            return false
        }
        var d: Int = 2
        var sum: Int = 1
        while d * d <= num {
            if num % d == 0 {
                sum += d
                if d * d < num {
                    sum += num / d
                }
            }
            d += 1
        }
        return sum == num
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\sqrt{num})$。

• 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：数学

思路及解法

根据欧几里得-欧拉定理，每个偶完全数都可以写成

$2^{p-1}(2^p-1)$

的形式，其中 $p$ 为素数且 $2^p-1$ 为素数。

由于目前奇完全数还未被发现，因此题目范围 $[1,10^8]$ 内的完全数都可以写成上述形式。

这一共有如下 5 个：

6, 28, 496, 8128, 33550336

代码

class Solution {
    func checkPerfectNumber(_ num: Int) -> Bool {
        return num == 6 || num == 28 || num == 496 || num == 8128 || num == 33550336
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。