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定义

在数学中某个序列的生成函数(母函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

生成函数可分为很多种，如普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数、狄利克雷级数等。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

fib递推式

好像每一篇生成函数的博客都有这种东西

普通型生成函数

对于数列$\{a_0,a_1,a_2...a_n\}$， 设$G(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+...+a_n*x^n$, 则称G(x)是数列的生成函数。

一些公式

当$(x∈(1,-1))$时，

• $x^0+x^2+x^4+x^6...=\frac{1}{1−x^2}$
• $1*x^0+2*x^1+3*x^2+4*x^3=\frac{1}{(1-x)^2}$
• $\sum_{i=0}^\infty C(_{n+i-1}^i)*x^i=\frac{1}{(1-x)^n}$(广义二项式定理）

举个栗子

第一个栗子

每一项都是1的无穷数列的生成函数是？

$G(x)=x^0+x^1+x^2+x^3+...\\=\frac{1}{1-x}(x∈(1,-1))$

第二个栗子

设n∈N+，数列$\{C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n\}$的生成函数是？

$G(x)=C(_n^0)*x^0+C(_n^1)*x^1+C(_n^2)*x^2+...+C(_n^n)*x^n\\=(x+1)^n$

第三个栗子

小明有四个盒子，盒子里分别有1,2,3,4块蛋糕。
为了保证蛋糕的口感，一旦小明打开盒子就必须把盒子里的所有蛋糕都吃掉。
小明吃了若干块蛋糕。
(用生成函数求解以下问题)

(1)小明可能吃了几块蛋糕（显然以小明的胃口吃得下任意数量的蛋糕）？

(2)小明吃各种数量蛋糕打开盒子的方案分别是多少？

设生成函数G(x);

指数为蛋糕数,系数为方案数;
对于一个盒子,我们可以选择是否打开：
第一个盒子的方案:$(x^0+x^1)$
第二个盒子的方案:$(x^0+x^2)$
第三个盒子的方案:$(x^0+x^3)$
第四个盒子的方案:$(x^0+x^4)$

四个盒子的开合相互独立;

最终方案

$$$$

\begin{aligned} G(x)&=(x^0+x^1)\times(x^0+x^2)\times(x^0+x^3)\times(x^0+x^4) \&=x^0+x^1+x^2+2\times x^3\ &+2\times x^4+2\times x^5+2\times x^6+2\times x^7+x^8+x^9+x^{10} \end{aligned}