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引子
网上讲堆排序的挺多的，为什么还要赘述此篇，是因为每个人的关注点不一样，比如说堆排序对我来说，最大的难点，不是原理，而是每隔一段时间，再来回顾的时候，总是不能顺利写出代码，非要错个一两回才行。所以此篇根据自身的思考习惯，来理清一下需要掌握的知识点。
堆-这个数据结构
首先堆排序里的堆不是堆栈的堆。
之所以叫堆，可能是因为如果画出来这个数据结构的话，很像一个堆，就是一堆东西hu在一起的样子。想象成金字塔也是比较形象的。
这个数据结构包含多个元素，这些元素之间是有上下级的关系，实际上，就是一个树状结构，而且是二叉树。
但是堆这种二叉树，又有一些特殊性，比如说，这是一颗完全二叉树，什么叫完全二叉树呢？
我们把这颗二叉树画出来，层序遍历，从根到下，从左到右，一直遍历到最后一个元素，如果在这个过程中，没有缺失的节点，那么就叫完全二叉树，看文字不形象，看下图：
再来看看一个反例：
我们可以看见，染色的节点，缺失了子节点，所以最后一层遍历的时候，从左到右，不完整了，所以叫非完全二叉树。
除了要是一颗完全二叉树之外，还要满足一个特点才能称之为堆。
那就是每一个节点的值，都必须小于或等于左右两个子节点的值。（反之亦可）。
我们来看一个例子：
观察上图，
- 首先它是完全二叉树;
- 其次，节点的值 子节点。
存储堆
虽然堆是一颗树，但是用数组也是可以来存储的。为什么？
这就是完全二叉树的好处。
就拿上图中的例子来说，层序遍历，从根到下，从左到右，把这些节点依次放到一个数组里，就存好了。
这样是不会丢失上下级关系的，从下标而言，假设数组里某元素的下标是i, 这个元素的上级节点的下标就是 。我们来画一下这个图：
反过来，下标是i的节点的
- 左子节点的下标是
- 右子节点的下标是
当然，非要用树状结构来存储也是可以的, 并不需要非要用数组。
我们用数组来存，一般是为了搞堆排序。
堆排序之 heapify
现在有一个无序数组，肯定不是一颗合法的堆。
我们需要让这个数组变成一个合法的堆，这个操作叫 heapify，翻译叫 堆化。
down 操作
在 heapify 的过程中，又有一个小操作需要掌握，叫down操作。
必须条件：对于一个节点，如果左右节点所构成的树，都是合法的堆，而恰恰就是这个节点和左右两个子节点，不满足大小关系的时候，才可以对这个节点进行down操作。
我们来画一下这个必须条件：
我们发现，根节点不满足大小关系，但是根节点的左右两个子节点所构成的树，都满足堆的关系。
此时，对于根节点，才可以进行down操作，这个很重要。
down操作逻辑
我们根据上面的图来讲解，既然根节点不满足大小关系，很显然，我们需要将根节点往下降
- 也就是在左右两个子节点中，选取一个，与根节点交换
那么选取哪一个呢？选取更小的那个就行，如果两个子节点同样大小，那么就随便选取一个，例如上图，两个子节点的值都是1，那么就随便选。
我们画出交换之后的图：
本来左边是好的，交换之后，左边又不行了，不怕，继续往下降就行了！一直降到满足为止。
heapify 逻辑
上面的例子中，如果之后根节点不满足的话，只需要对根节点进行down操作即可。
但现实是，一个无序的数组，肯定不仅仅是根节点不满足，而是所有节点都不满足。
思路就是，尽量一点点的让整个结构满足堆的关系。
我们从最后一个有子节点的节点开始，进行down操作，一直往前遍历，一直遍历到根节点，此时数组就完成了堆化。
这里之所以可行是因为，我们每次进行down操作的时候，确实已经满足了down操作的那个必须条件。
堆排序具体逻辑
在完成heapify之后，就可以真正来进行堆排序了。
我们假设heapify的时候，采用的大小关系是，谁大，谁就往上升。
那么一个heapify之后的数组的第一个元素就是最大的。
此时，我们把第一个元素和最后一个元素互换。
我们会得到两个结果：
- 最大的元素已经排到了最后，这就是排序所需要的
- 忽略最后一个元素，前面的所有元素构成的是一个不那么完美的堆。因为根节点有可能不满足大小关系
此时我们只需要对根节点进行down操作，这次操作的时候，一定要忽略最后一个元素。
然后，就又得到一个好堆了。
画一个图就明白了：
图中白色部分是一个好堆。
在进行两个操作之后，数组的最后一个元素已经是最大的了，而且数组前面部分又是一个好堆。
我们一直进行这两个操作，最后得到的就是一个排好的数组，从小到大的顺序。
要反向排序的话，上面heapify的时候，只需要切换成小的在上面即可。
重要的操作总结
- heapify 将整个树变成一个合法的堆，具体过程就是从尾部往前遍历每个节点，进行down操作即可。（优化成，从尾部第一个拥有子节点的元素开始）
- down 如果一个节点和两个子节点不满足大小关系，那么就将这个节点往下降，一直往下降，降到满足即可。
