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一次不定方程的求解

不定方程

设整数 $k\ge2,c,a_1,...,a_k$ 是整数且 $a_1,...,a_k$ 是整数且 $a_1,...,a_k$ 均不等于 0，以及变量 $x_1,...,x_k$ 是整数变量，方程

称为 $k$ 元一次不定方程。$a_1,...,a_k$ 称为它的系数。

$k$ 元一次不定方程有解的充分必要条件

不定方程 $a_1x_1+...+a_kx_k=c$ 有解的充分必要条件是它的系数的最大公约数 $(a_1,...,a_k)\mid c$。且该方程的解与不定方程

的解相同。

二元一次不定方程的通解

设二元一次不定方程

有解，$x_{1,0},x_{2,0}$ 是它的一组解，$t$ 为任一整数，则上式的通解为：

带入原方程即可显然验证。

二元一次不定方程的非负解和正解

当二元一次不定方程 $a_1x_1+a_2x_2=c$ 有解时，我们进行如下讨论：

显然当 $a_1,a_2$ 异号时，二元一次不定方程 $a_1x_1+a_2x_2=c$ 有无穷多组非负解或正解。

系数为正数的二元一次不定方程的非负解和正解

设 $a_1,a_2,c$ 均为正整数，$(a_1,a_2)=1$，那么当 $c>a_1a_2-a_1-a_2$ 时，不定方程 $a_1x_1+a_2x_2=c$ 有非负解，解数等于 $[c/(a_1a_2)]$ 或 $[c/(a_1a_2)]+1$。当 $c=a_1a_2-a_1-a_2$ 时，不定方程没有非负解。

该定理曾经出现在 NOIP2017 的赛场上。

题目链接

P3951 [NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑

题目大意

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。

在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。

现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？

注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    long long a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<a*b-a-b;
    return 0;
}

明天，我们将介绍该定理的详细证明和直观理解方式。