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功能

维护一个数据结构，对一列n个数，实现下面两种操作：

1. 将某一个数加上 x
2. 求出下标从x到y所有数的和

思路

定义 $lowbit(i)$ 表示将 i 转化为二进制后最低位的 1 所对应的值。
比如 12 的二进制表示为 ${(1100)}_2$，则 $lowbit(12)=lowbit({(1100)}_2)={(100)}_2=4$。

开一个长度为n的数组 s[i]，表示从下标i开始前 $lowbit(i)$ 项和。 上图中 a 数组表示输入的原数组，s 为树状数组。则：

• s[1]=a[1]
• s[2]=a[1]+a[2]
• s[3]=a[3]
• s[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
• s[5]=a[5]
• s[6]=a[5]+a[6]
• s[7]=a[7]
• s[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]
• s[9]=a[9]
• ……

那么树状数组应该怎样建立和维护呢？

建树

我们只需自下而上的遍历上图即可完成建树。

void build()
{
	for (int i=1;i<=n;++i) s[i]=a[i];
	for (int i=1;i<=n;i*=2)
		for (int j=i*2;j<=n;j+=i*2) s[j]+=s[j-i];
}

修改

考虑第x个数的值改变会对树状数组中那些值产生影响。

由 s[i] 表示从下标 i 开始前 $lowbit(i)$ 项和，即第 i-lowbit(i)+1 项到第 i 项之和。

观察发现修改 x 的值只会上图中一条链的值，且该条链中 i 的下一个元素为 i+lowbit(i)。

修改第 x 个元素的值的操作如下：

1. 将修改树状数组中第x个元素的值。
2. 若 x+lowbit(x) 不超过n，则 x+=lowbit(x)，重复step1。

举个栗子： 比如我们想要让 a[5] 加 1，则需要依次进行以下操作：

代码实现如下：

void change(int x,int y)
{
	for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		s[i]+=y;
}

查询

易知想要查询下标从x到y的所有元素的和，只需要查询前y项和与前x-1项和作差即可。

统计前 x 项的和的方法如下：

1. 将第 x-lowbit(x)+1~x 个元素的和加入答案，即 ans+=s[x]。
2. 若 x-lowbit(x) 不为 0，则 x-=lowbit(x)，重复 step1。
3. ans 即为所求。

举个栗子： 我们想要统计前 82 项和，现将 82 转化为二进制得 ${(1010010)}_2$。由上述树状数组定义得：

则前82项和为 s[82]+s[80]+s[64]。 代码实现如下。

int find(int x)
{
	int sum=0;
	for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
		sum+=s[i];
	return sum;
}

lowbit

定义 owbit(i) 表示将 i 转化为二进制后最低位的 1 所对应的值。上文中基于 lowbit 的定义我们实现了单次操作时间复杂度为 O(log(n)) 维护上述数据结构。下面给出 lowbit(x) 的实现。

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

不理解&运算符请搜索C语言位运算。

为什么x&(-x)就是将x转化为二进制后最低位的1所对应的值呢？

这就涉及到了数在计算机中的存储方式。
一个数在计算机中的二进制表示形式叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数符号位为0，负数符号位为1。一个数在计算机中多以二进制补码形式存储。 在介绍补码之前，我们需要先定义原码和反码。

1. 原码 现将数的绝对值表示为二进制形式，将最高位按符号置为0/1，就能得到数的原码表示形式。

2. 反码 非负数的反码是它本身。 负数的反码是原码除符号位逐位取反。

3. 补码 非负数的补码是它本身。 负数的补码是反码+1。

举个栗子：

由于 x 为数组下标，下文将 x 视为非负的整类型变量展开讨论。

当 x 为 0 时，0&0=0。
当 x 不为 0 时，x 为正数，则其补码就是自身的二进制形式。
-x 的补码是将反码 +1 的结果，
当 $(-x)_{反码}+1$ 后，
将会对 $(-x)_{反码}$ 包括最低位 0 开始右边所有字节逐位取反，
$(-x)_{反码}$ 最低位 0 左边保持不变。
易知 $(x)_{补码}$ 与 $(-x)_{反码}$ 的每一位都不同，
所以 $(-x)_{补码}$ 包括最低位 1 开始向右所有字节均与 $(x)_{补码}$ 相同，
$(-x)_{补码}$ 最低位 1 左边所有字节均与 $(x)_{补码}$ 不同，
则 x&(-x) 会取出将 x 转化为二进制后最低位的 1 所对应的值。

代码

完整代码如下：

#include <stdio.h>
#define lowbit(x) x&(-x) 
int n,m,s[500001],t,x,y;
void build()
{
	for (int i=1;i<=n;i*=2)
		for (int j=i*2;j<=n;j+=i*2) s[j]+=s[j-i];
}
int find(int x)
{
	int sum=0;
	for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
		sum+=s[i];
	return sum;
}
void change(int x,int y)
{
	for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		s[i]+=y;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&s[i]);
	build();
	while (m--)
	{
		scanf("%d%d%d",&t,&x,&y);
		if (t==1) change(x,y);
		else printf("%d\n",find(y)-find(x-1));
	}
	return 0;
}